Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{(raiz(n^2 + n + 1) - raiz(n^2 - n + 1)) / (n + raiz(n^2 + 1))}_{n ≥ 1}

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
converge ou diverge, e se convergir, encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites e manipulação de expressões algébricas, como a racionalização de termos com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Temos uma diferença de raízes quadradas, e para simplificar esse tipo de expressão, usamos a técnica de racionalização. Isso significa multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de é .

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador pela conjugada, temos:
No numerador, aplicamos a identidade , resultando em:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme cresce. Observamos que para grandes valores de , , , e . Substituindo essas aproximações na expressão, temos:
À medida que tende ao infinito, tende a zero.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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