Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
converge ou diverge, e se convergir, encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites e manipulação de expressões algébricas, como a racionalização de termos com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Temos uma diferença de raízes quadradas, e para simplificar esse tipo de expressão, usamos a técnica de racionalização. Isso significa multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de
é
.
Passo 3
Multiplicando o numerador e o denominador pela conjugada, temos:
No numerador, aplicamos a identidade
, resultando em:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme
cresce. Observamos que para grandes valores de
,
,
, e
. Substituindo essas aproximações na expressão, temos:
À medida que
tende ao infinito,
tende a zero.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 0.