Considere um capacitor cilíndrico de comprimento
, o condutor interno tem raio externo
e o condutor externo tem raio interno
e raio externo
, em que
é muito maior que os raios
e
. Determine a capacitância do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um capacitor cilíndrico com algumas dimensões específicas. Nosso objetivo aqui é descobrir a capacitância desse sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitância em capacitores cilíndricos. Vamos precisar entender como calcular o campo elétrico entre os condutores e, a partir daí, determinar a capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o capacitor cilíndrico. Temos um condutor interno com raio externo
e um condutor externo com raio interno
e raio externo
. Como o comprimento
é muito maior que
,
e
, podemos considerar que as bordas não influenciam no campo elétrico entre os condutores. Ou seja, o sistema se comporta como se fosse infinito, facilitando nossos cálculos.
Passo 3
Agora, para encontrar a capacitância, precisamos primeiro determinar o campo elétrico entre os dois condutores. Vamos assumir que o condutor interno tem uma carga
e o condutor externo uma carga
. Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
entre os condutores.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss a uma superfície cilíndrica de raio
entre
e
, temos:
Daí, isolando
:
Passo 5
Agora, para encontrar a diferença de potencial
entre os condutores, integramos o campo elétrico
de
a
:
Passo 6
Sabemos que a capacitância
é dada por:
Substituindo
na equação:
Resposta
A capacitância do sistema é: