Considere um capacitor cilíndrico de comprimento L, o condutor interno tem raio externo a e o condutor externo tem raio interno b e raio externo c, em que L é muito maior que os raios a, b e c. Determine a capacitância do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um capacitor cilíndrico com algumas dimensões específicas. Nosso objetivo aqui é descobrir a capacitância desse sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitância em capacitores cilíndricos. Vamos precisar entender como calcular o campo elétrico entre os condutores e, a partir daí, determinar a capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o capacitor cilíndrico. Temos um condutor interno com raio externo e um condutor externo com raio interno e raio externo . Como o comprimento é muito maior que , e , podemos considerar que as bordas não influenciam no campo elétrico entre os condutores. Ou seja, o sistema se comporta como se fosse infinito, facilitando nossos cálculos.

Passo 3

Agora, para encontrar a capacitância, precisamos primeiro determinar o campo elétrico entre os dois condutores. Vamos assumir que o condutor interno tem uma carga oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 e o condutor externo uma carga . Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico entre os condutores.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss a uma superfície cilíndrica de raio E cdot 2pi r L = Qvarepsilon0 entre E = Q2pi varepsilon0 r L e , temos:
Daí, isolando :

Passo 5

Agora, para encontrar a diferença de potencial V = integrala^b E , dr = integrala^b Q2pi varepsilon0 r L , dr = Q2pi varepsilon0 L ln(ba) entre os condutores, integramos o campo elétrico de a :

Passo 6

Sabemos que a capacitância C = QV é dada por:
C = QQ2pi varepsilon0 L ln(ba) = 2pi varepsilon0 Lln(ba)
Substituindo na equação:

Resposta

A capacitância do sistema é:
C = 2pi varepsilon0 Lln(ba)

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