Usando a lei de Biot-Savart (B=mu04 pi integral Id l times rr^2), encontre a expressão matemática para o vetor campo magnético B, como uma função dos parâmetros I, a e x, no ponto P que divide o condutor em duas metades, situado a uma distância x do seu centro; (1 ponto);
B=mu0 I4 pi integral-a^a x d y(x^2+y^2)^3 / 2
Podemos fazer a integral usando uma substituição trigonométrica ou então consultando uma tabela de integrais. O resultado é dado por
B=mu0 I4 pi 2 ax raizx^2+a^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Biot-Savart para encontrar o campo magnético em um ponto específico que está a uma distância do centro de um condutor dividido em duas partes iguais. Os parâmetros que vamos usar são a corrente , o comprimento do condutor e a distância .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por um elemento de corrente:
B = mu04 pi integral I dl times rr^2
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é a corrente, é um elemento de comprimento do condutor, é o vetor unitário na direção de , e é a distância do elemento até o ponto .

Passo 3

No nosso caso, o condutor está alinhado ao eixo B = mu0 I4 pi integral-a^a x , dy(x^2 + y^2)^3/2 e o ponto está a uma distância no eixo . Então, podemos expressar o campo magnético na direção (perpendicular ao plano ):
Essa integral vem da aplicação da Lei de Biot-Savart considerando a simetria do problema.

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Podemos usar uma substituição trigonométrica ou consultar uma tabela de integrais. No nosso caso, a substituição trigonométrica simplifica bastante. Vamos deixar a matemática de lado e focar no resultado:
integral x , dy(x^2 + y^2)^3/2 = 2ax raizx^2 + a^2

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta na expressão para B = mu0 I4 pi cdot 2ax raizx^2 + a^2 , temos:
Simplificando os termos, chegamos à expressão final para o campo magnético no ponto .

Resposta

A expressão para o vetor campo magnético B = mu0 I4 pi cdot 2ax raizx^2 + a^2 no ponto é:

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