Usando a lei de Biot-Savart , encontre a expressão matemática para o vetor campo magnético , como uma função dos parâmetros e , no ponto que divide o condutor em duas metades, situado a uma distância do seu centro; (1 ponto);

Podemos fazer a integral usando uma substituição trigonométrica ou então consultando uma tabela de integrais. O resultado é dado por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Biot-Savart para encontrar o campo magnético em um ponto específico que está a uma distância do centro de um condutor dividido em duas partes iguais. Os parâmetros que vamos usar são a corrente , o comprimento do condutor e a distância .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por um elemento de corrente:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é a corrente, é um elemento de comprimento do condutor, é o vetor unitário na direção de , e é a distância do elemento até o ponto .

Passo 3

No nosso caso, o condutor está alinhado ao eixo e o ponto está a uma distância no eixo . Então, podemos expressar o campo magnético na direção (perpendicular ao plano ):
Essa integral vem da aplicação da Lei de Biot-Savart considerando a simetria do problema.

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Podemos usar uma substituição trigonométrica ou consultar uma tabela de integrais. No nosso caso, a substituição trigonométrica simplifica bastante. Vamos deixar a matemática de lado e focar no resultado:

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta na expressão para , temos:
Simplificando os termos, chegamos à expressão final para o campo magnético no ponto .

Resposta

A expressão para o vetor campo magnético no ponto é:

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