No período anterior à descoberta do nêutron, muitas pessoas pensavam que o núcleo consistia de prótons e elétrons, com o número atômico igual ao número excedente de prótons. O decaimento beta parecia apoiar essa ideia afinal, os eletros saem; isso não implicaa que havia elétrons dentro? Use a posição-momento, De= h / 2, para estimar o momento mínimo de um elétron confinado a um núcleo (raio 10 - 13cm). A partir da relação energiamomento relativística, De, determine a energia correspondente e compare-a com a de um elétron emitido, digamos, no decaimento beta do atrítio (figura 1.5). (Este resultado convenceu algumas pessoas de que o elétron do decaimento beta não poderia estar chacoalhando dentro do núcleo, mas deve ser produzido na própria desintegração.)

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre como, antes da descoberta do nêutron, as pessoas pensavam que o núcleo atômico era feito de prótons e elétrons. O objetivo aqui é usar o princípio da incerteza de Heisenberg para estimar o momento mínimo de um elétron confinado a um núcleo com raio de cm. Depois, vamos usar a relação da energia-momento relativística para encontrar a energia correspondente e comparar com a energia de um elétron emitido num decaimento beta. Para resolver isso, vamos precisar entender o princípio da incerteza, conceitos de momento e energia na teoria da relatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele nos diz que não podemos conhecer com precisão simultânea a posição ( De= h4pi ) e o momento ( ) de uma partícula. A relação é dada por:
Onde é a constante de Planck. Neste caso, queremos encontrar o momento mínimo ( í) de um elétron dentro do núcleo.

Passo 3

Dado que o raio do núcleo é de De cm, precisamos converter isso para metros para facilitar os cálculos:
De
Agora, rearranjando a desigualdade do princípio da incerteza para encontrar Deí:
í
Sabemos que , então substituindo:
í

Passo 4

Agora, vamos usar a relação de energia-momento relativística, que é:
E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2
Para elétrons confinados em núcleos, o momento é tão grande que a energia cinética ( E approx pc ) é muito maior que a energia de repouso ( ). Então, podemos aproximar:
Onde é a velocidade da luz.

Passo 5

Substituindo o valor de E approx (5,27 times 10^-20 , kg cdot m/s) times (3 times 10^8 , m/s) = 1,58 times 10^-11 , J que encontramos:
E approx 1,58 times 10^-111,602 times 10^-19 approx 9,86 times 10^7 , eV approx 98,6 , MeV
Para facilitar a comparação, vamos converter essa energia para elétron-volts (1 eV = J):

Passo 6

A energia de um elétron emitido num decaimento beta típico é da ordem de alguns MeV, por exemplo, cerca de 1 MeV. Comparando com a energia que calculamos para o elétron confinado dentro do núcleo ( MeV), vemos que a energia necessária para manter um elétron dentro do núcleo é muito maior do que a energia de um elétron emitido no decaimento beta.

Resposta

Portanto, a energia mínima estimada para um elétron confinado a um núcleo é aproximadamente 98,6 MeV, o que é significativamente maior do que a energia de um elétron emitido num decaimento beta típico. Isso indica que é energeticamente inviável manter um elétron dentro do núcleo, reforçando a ideia de que os elétrons observados no decaimento beta são produzidos durante a própria desintegração, e não estavam presentes no núcleo anteriormente.

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