Considere um capacitor cilíndrico de raio interno r1 e raio externo r2, e comprimento L. Um dielétrico de constante dielétrica k preenche o volume entre os dois cilindros. O capacitor é ligado a uma bateria que fornece uma diferença de potencial igual V, onde é inteiramente carregado. Calcule a carga do capacitor.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um capacitor cilíndrico com raio interno r1 e raio externo r2, comprimento L, e entre os cilindros está um dielétrico com constante dielétrica k. Ele está ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial V. Nosso objetivo é calcular a carga Q armazenada nesse capacitor.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um capacitor cilíndrico. É um dispositivo que armazena carga elétrica entre dois cilindros concêntricos. A capacitância C desse capacitor depende das dimensões geométricas e das propriedades do dielétrico entre os cilindros.

Passo 3

A fórmula geral para a capacitância de um capacitor cilíndrico com dielétrico é:
C = 2 pi k varepsilon0 Lln(r2r1)
Aqui:
  • C é a capacitância,
  • k é a constante dielétrica do material,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • L é o comprimento do capacitor,
  • r1 e r2 são os raios interno e externo dos cilindros,
  • ln é o logaritmo natural.
Essa fórmula nos mostra que a capacitância aumenta com o aumento da constante dielétrica k, do comprimento L ou diminui com o aumento da distância entre os cilindros, representada pelo logaritmo.

Passo 4

Agora que temos a capacitância, podemos encontrar a carga Q armazenada usando a relação básica entre carga, capacitância e diferença de potencial:
Q = C times V
Substituindo a expressão da capacitância:
Q = 2 pi k varepsilon0 L Vln(r2r1)

Resposta

A carga do capacitor é:
Q = 2 pi k varepsilon0 L Vln(r2r1)

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