Uma lâmina dielétrica de espessura d e constante dielétrica k=2,31 é inserida em um capacitor de placas planas paralelas que foi carregado a 110 V e cujas placas possuem, individualmente, uma área A=100 cm^2, e uma distância de separação d=2,50 cm. © Determine C, V, E, Q e U após a lâmina dielétrica ter sido inserida e a bateria desligada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre um capacitor de placas paralelas com uma lâmina dielétrica inserida. A gente precisa encontrar a capacitância ( C), a tensão ( V), o campo elétrico ( E), a carga ( Q) e a energia armazenada ( U) depois que a lâmina dielétrica foi colocada e a bateria foi desligada. Para isso, vamos usar conceitos de capacitância com dielétricos, conservação de carga e energia em capacitores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a nova capacitância ( C) após a lâmina dielétrica ser inserida. A capacitância de um capacitor com dielétrico é dada por:
C = k cdot C0
Onde C0 é a capacitância sem o dielétrico e k é a constante dielétrica. A capacitância sem dielétrico é:
C0 = varepsilon0 cdot Ad
Vamos calcular C0:
  • Área ( A): 100 , cm^2 = 0,01 , m^2
  • Distância ( d): 2,50 , cm = 0,025 , m
  • Constante de permissividade do vácuo ( varepsilon0): 8,85 times 10^-12 , F/m
Então,
C0 = 8,85 times 10^-12 times 0,010,025 = 3,54 times 10^-12 , F = 3,54 , pF
Agora, aplicando a constante dielétrica:
C = k cdot C0 = 2,31 times 3,54 times 10^-12 = 8,19 times 10^-12 , F = 8,19 , pF

Passo 3

Agora, vamos determinar a nova tensão ( V) no capacitor. Como a bateria foi desligada, a carga ( Q) permanece constante. A relação entre carga, capacitância e tensão é:
V = QC
Mas precisamos primeiro encontrar a carga inicial antes da inserção do dielétrico. Inicialmente, sem dielétrico:
Q0 = C0 times V0
Onde V0 = 110 , V.
Então,
Q0 = 3,54 times 10^-12 times 110 = 3,89 times 10^-10 , C
Com a nova capacitância, a tensão será:
V = QC = 3,89 times 10^-108,19 times 10^-12 approx 47,5 , V

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico ( E) dentro do capacitor. A relação entre tensão, campo elétrico e distância é:
E = Vd
Já temos V = 47,5 , V e d = 0,025 , m.
Então,
E = 47,50,025 = 1900 , V/m

Passo 5

Agora, vamos confirmar a carga ( Q) que já calculamos anteriormente. Mas vamos verificar por outra abordagem para garantir:
Q = C times V = 8,19 times 10^-12 times 47,5 approx 3,89 times 10^-10 , C
Confirma que a carga permanece constante após a inserção do dielétrico.

Passo 6

Por último, vamos calcular a energia armazenada ( U) no capacitor. A energia armazenada é dada por:
U = 12 C V^2
Usando os valores encontrados:
U = 12 times 8,19 times 10^-12 times (47,5)^2 approx 12 times 8,19 times 10^-12 times 2256,25 approx 9,24 times 10^-9 , J

Resposta

Depois da inserção da lâmina dielétrica e com a bateria desligada, os valores são:
  • Capacitância ( C): 8,19 , pF
  • Tensão ( V): 47,5 , V
  • Campo Elétrico ( E): 1900 , V/m
  • Carga ( Q): 3,89 times 10^-10 , C
  • Energia Armazenada ( U): 9,24 times 10^-9 , J

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