O volume entre dois cilindros de um capacitor cilíndrico é preenchido metade com um dielétrico de constante dielétrica
e ligado a uma bateria com diferença de potencial
. Qual é a carga do capacitor? Qual é a razão entre esta carga e a carga de um capacitor idêntico em tudo, mas sem o dielétrico entre as placas, ligado sob a mesma diferença de potencial?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros concêntricos. O espaço entre eles está meio preenchido com um material dielétrico com constante dielétrica
e está ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial
. A gente precisa descobrir duas coisas:
- Qual é a carga armazenada nesse capacitor.
- Qual é a razão entre essa carga e a carga que o capacitor teria se todo o espaço entre os cilindros estivesse sem o dielétrico, mas ainda ligado à mesma bateria.
Para resolver isso, vamos precisar entender como os dielétricos afetam a capacitância e usar a fórmula básica dos capacitores. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância
de um capacitor depende da geometria e do material entre as placas. A fórmula básica para a capacitância de um capacitor cilíndrico, sem dielétrico, é:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é o comprimento do capacitor, -
e são os raios interno e externo dos cilindros.
Mas aí a gente tem um dilema: meio do espaço está com dielétrico e metade sem. Como calcular a capacitância total?
Passo 3
A solução é pensar no capacitor como dois capacitores em paralelo:
- Parte com dielétrico: A capacitância nessa parte é aumentada pelo fator
, ficando . - Parte sem dielétrico: Aqui, a capacitância é metade de
, ou seja, .
Pois bem, quando temos capacitores em paralelo, a capacitância total é a soma das capacitâncias individuais:
Passo 4
Agora que temos
, podemos encontrar a carga armazenada usando a relação
:
Isso nos dá a carga no capacitor com meio dielétrico.
Passo 5
Para encontrar a razão entre essa carga
e a carga do capacitor sem dielétrico
, primeiro calculamos
:
Agora, a razão é:
Resposta
A carga do capacitor é
. A razão entre essa carga e a carga do capacitor sem dielétrico é
.