O volume entre dois cilindros de um capacitor cilíndrico é preenchido metade com um dielétrico de constante dielétrica k e ligado a uma bateria com diferença de potencial V. Qual é a carga do capacitor? Qual é a razão entre esta carga e a carga de um capacitor idêntico em tudo, mas sem o dielétrico entre as placas, ligado sob a mesma diferença de potencial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros concêntricos. O espaço entre eles está meio preenchido com um material dielétrico com constante dielétrica e está ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial . A gente precisa descobrir duas coisas:
  1. Qual é a carga armazenada nesse capacitor.
  2. Qual é a razão entre essa carga e a carga que o capacitor teria se todo o espaço entre os cilindros estivesse sem o dielétrico, mas ainda ligado à mesma bateria.
Para resolver isso, vamos precisar entender como os dielétricos afetam a capacitância e usar a fórmula básica dos capacitores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância C0 = 2piepsilon0 Lln(ba) de um capacitor depende da geometria e do material entre as placas. A fórmula básica para a capacitância de um capacitor cilíndrico, sem dielétrico, é:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o comprimento do capacitor,
  • e são os raios interno e externo dos cilindros.
Mas aí a gente tem um dilema: meio do espaço está com dielétrico e metade sem. Como calcular a capacitância total?

Passo 3

A solução é pensar no capacitor como dois capacitores em paralelo:
  1. Parte com dielétrico: A capacitância nessa parte é aumentada pelo fator Ctotal = C1 + C2 = k cdot C02 + C02 = C02(k + 1) , ficando .
  2. Parte sem dielétrico: Aqui, a capacitância é metade de , ou seja, .
Pois bem, quando temos capacitores em paralelo, a capacitância total é a soma das capacitâncias individuais:

Passo 4

Agora que temos Q = Ctotal cdot V = C02(k + 1) cdot V , podemos encontrar a carga armazenada usando a relação :
Isso nos dá a carga no capacitor com meio dielétrico.

Passo 5

Para encontrar a razão entre essa carga Q0 = C0 cdot V e a carga do capacitor sem dielétrico QQ0 = C02(k + 1) cdot VC0 cdot V = k + 12 , primeiro calculamos :
Agora, a razão é:

Resposta

A carga do capacitor é . A razão entre essa carga e a carga do capacitor sem dielétrico é .

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