Considere um capacitor de placas paralelas de capacitância
quando há apenas vácuo entre as placas. Discorra sobre o efeito da inclusão de um meio dielétrico linear com permissividade elétrica
, preenchendo toda a região entre as placas do capacitor, sobre a capacitância e sobre a energia armazenada no capacitor nas seguintes circunstâncias:
Uma fonte é utilizada para carregar completamente
o capacitor com carga
e placas são desconectadas da fonte. Só então o dielétrico é introduzido.
[1]
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Aqui, completamente significa que a diferença de potencial nos terminais do capacitor é igual a diferença de potencial da fonte. ↩︎
Uma fonte é utilizada para carregar completamente
[1]
Aqui, completamente significa que a diferença de potencial nos terminais do capacitor é igual a diferença de potencial da fonte. ↩︎
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor de placas paralelas com capacitância $ C $ quando tem apenas vácuo entre as placas. A gente precisa entender o que acontece com a capacitância e a energia armazenada nesse capacitor quando a gente coloca um material dielétrico com permissividade elétrica $ \epsilon $ entre as placas. A situação específica é que primeiro a gente carrega o capacitor com uma carga $ q $ usando uma fonte, depois desconecta a fonte e só então insere o dielétrico. Para resolver isso, vamos precisar saber como a capacitância e a energia armazenada variam quando um dielétrico é inserido em um capacitor já carregado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é capacitância. A capacitância $ C $ de um capacitor de placas paralelas é dada por:
onde:
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ A $ é a área das placas,
- $ d $ é a distância entre as placas.
Quando inserimos um dielétrico com permissividade $ \epsilon $, a nova capacitância $ C’ $ fica:
Isso significa que a capacitância aumenta porque $ \epsilon > \epsilon_0 $.
Passo 3
Agora, como a energia armazenada no capacitor é calculada? A energia $ U $ armazenada em um capacitor pode ser expressa de duas formas, dependendo se a carga ou a voltagem é mantida constante:
- Com carga constante:
- Com voltagem constante:
No nosso caso, a carga $ q $ é mantida constante porque a fonte foi desconectada antes de inserir o dielétrico. Então, usaremos a primeira fórmula para calcular a energia.
Passo 4
Vamos ver o que acontece com a capacitância quando inserimos o dielétrico. Como já vimos:
Isso quer dizer que a capacitância aumenta pela razão $ \frac{\epsilon}{\epsilon_0} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a nova energia armazenada no capacitor com o dielétrico. Como a carga $ q $ é constante, a nova energia $ U’ $ será:
Substituindo $ C’ $:
Isso mostra que a energia armazenada diminui quando inserimos o dielétrico.
Resposta
Ao inserir o dielétrico após carregar o capacitor e desconectar a fonte, a capacitância aumenta para $ C’ = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} C $ e a energia armazenada no capacitor diminui para $ U’ = \frac{\epsilon_0}{\epsilon} U $, onde $ U $ é a energia inicial.