Dois blocos idênticos, cada um com massa M, são ligados por uma corda leve que passa sobre uma polia de raio R e inércia rotacional I (Fig. 46). A corda não escorrega sobre a polia e não se sabe se existe atrito ou não entre o plano e o bloco que escorrega. Quando esse sistema é solto, verifica-se que a polia gira do ângulo theta durante o intervalo de tempo te a aceleração dos blocos é constante. Quais as trações nas porções superior e inferior da corda? Expresse todas as respostas em termos de M, I, R, theta, g e t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois blocos idênticos, cada um com massa M, ligados por uma corda que passa sobre uma polia com raio R e inércia rotacional I. A corda não escorrega na polia, e não sabemos se há atrito entre os blocos e o plano. Quando soltamos o sistema, a polia gira por um ângulo theta no tempo t, e a aceleração dos blocos é constante. Nosso objetivo é encontrar as tensões nas porções superior ( T1) e inferior ( T2) da corda. Para isso, vamos precisar aplicar os conceitos de dinâmica rotacional e translacional, além das equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a aceleração linear dos blocos ( a) com a aceleração angular da polia ( alpha). Como a corda não escorrega, a aceleração linear é igual à aceleração angular multiplicada pelo raio da polia:
a = alpha R
Isso nos ajuda a conectar o movimento dos blocos com o da polia.

Passo 3

Agora, vamos determinar a aceleração angular alpha usando a informação do ângulo theta e do tempo t. Sabemos que para um movimento com aceleração angular constante:
theta = 12 alpha t^2
Resolvendo para alpha, temos:
alpha = 2thetat^2

Passo 4

Substituindo alpha na relação entre aceleração linear e angular:
a = alpha R = 2theta Rt^2
Agora, temos a aceleração dos blocos em termos de theta, R e t.

Passo 5

Vamos analisar as forças atuando nos blocos. Para o bloco que desce, a força resultante é M g - T1 = M a, e para o bloco que sobe, a força resultante é T2 - M g = M a. Além disso, o torque na polia devido às tensões é (T2 - T1) R = I alpha.
Substituindo alpha e a nas equações:
T2 - T1 = I alphaR = I (2theta)t^2 R^2
E das equações das forças:
T1 = M g - M a = M g - M ( 2theta Rt^2 )
T2 = M g + M a = M g + M ( 2theta Rt^2 )

Resposta

As tensões nas porções superior e inferior da corda são:
T1 = M g - 2 M theta Rt^2
T2 = M g + 2 M theta Rt^2

Exercícios relacionados