Dois blocos idênticos, cada um com massa
, são ligados por uma corda leve que passa sobre uma polia de raio R e inércia rotacional I (Fig. 46). A corda não escorrega sobre a polia e não se sabe se existe atrito ou não entre o plano e o bloco que escorrega. Quando esse sistema é solto, verifica-se que a polia gira do ângulo
durante o intervalo de tempo te a aceleração dos blocos é constante. Quais as trações nas porções superior e inferior da corda? Expresse todas as respostas em termos de M, I, R,
, g e t.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois blocos idênticos, cada um com massa
, ligados por uma corda que passa sobre uma polia com raio
e inércia rotacional
. A corda não escorrega na polia, e não sabemos se há atrito entre os blocos e o plano. Quando soltamos o sistema, a polia gira por um ângulo
no tempo
, e a aceleração dos blocos é constante. Nosso objetivo é encontrar as tensões nas porções superior (
) e inferior (
) da corda. Para isso, vamos precisar aplicar os conceitos de dinâmica rotacional e translacional, além das equações do movimento uniformemente acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a aceleração linear dos blocos (
) com a aceleração angular da polia (
). Como a corda não escorrega, a aceleração linear é igual à aceleração angular multiplicada pelo raio da polia:
Isso nos ajuda a conectar o movimento dos blocos com o da polia.
Passo 3
Agora, vamos determinar a aceleração angular
usando a informação do ângulo
e do tempo
. Sabemos que para um movimento com aceleração angular constante:
Resolvendo para
, temos:
Passo 4
Substituindo
na relação entre aceleração linear e angular:
Agora, temos a aceleração dos blocos em termos de
,
e
.
Passo 5
Vamos analisar as forças atuando nos blocos. Para o bloco que desce, a força resultante é
, e para o bloco que sobe, a força resultante é
. Além disso, o torque na polia devido às tensões é
.
Substituindo
e
nas equações:
E das equações das forças:
Resposta
As tensões nas porções superior e inferior da corda são: