Uma esfera de material dielétrico linear possui uma densidade de carga livre uniforme rho, raio R e constante dielétrica epsilonr. Descreva o potencial em todo o espaço, usando o infinito como referência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera feita de um material dielétrico linear, que basicamente é um material que responde de forma previsível a campos elétricos. Essa esfera tem uma densidade de carga livre uniforme, que é rho, um raio R e uma constante dielétrica epsilonr. Nossa missão é descobrir o potencial elétrico em todos os pontos ao redor dessa esfera, considerando que no infinito o potencial é zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre deslocamento elétrico D, campo elétrico E e polarização P.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o potencial elétrico V está relacionado ao campo elétrico E pela equação E = -nabla V. Então, se encontrarmos o campo elétrico, podemos integrar para achar o potencial. Mas antes disso, precisamos achar o campo elétrico dentro e fora da esfera.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico, vamos usar a Lei de Gauss para dielétricos, que é dada por:
oint D cdot dA = Qlivre dentro da superfície í
Aqui, D é o deslocamento elétrico, que está relacionado ao campo elétrico por D = epsilon0 epsilonr E, onde epsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos considerar duas regiões: dentro da esfera ( r < R) e fora da esfera ( r > R).
Dentro da esfera ( r < R):
A carga livre total dentro de uma esfera de raio r é Qlivre = rho cdot 43pi r^3. Aplicando a Lei de Gauss:
epsilon0 epsilonr E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3
Simplificando, temos:
E = rho r3 epsilon0 epsilonr

Passo 5

Fora da esfera ( r > R):
A carga livre total na esfera inteira é Qlivre = rho cdot 43pi R^3. Aplicando a Lei de Gauss fora da esfera:
epsilon0 epsilonr E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi R^3
Simplificando, obtemos:
E = rho R^33 epsilon0 epsilonr r^2

Passo 6

Agora que temos o campo elétrico em ambas as regiões, podemos encontrar o potencial. Sabemos que:
V(r) = -integralinfty^r E cdot dl
Vamos calcular essa integral para cada região.
Para r > R:
V(r) = rho R^33 epsilon0 epsilonr cdot 1r
Para r < R:
Primeiro, precisamos integrar o campo de r até R, e depois de R até o infinito:
V(r) = rho3 epsilon0 epsilonr ( R^22 - r^22 ) + rho R^33 epsilon0 epsilonr cdot 1R
Simplificando:
V(r) = rho6 epsilon0 epsilonr (3R^2 - r^2)

Resposta

Portanto, o potencial elétrico V(r) em todo o espaço é dado por:
V(r) = rho6 epsilon0 epsilonr (3R^2 - r^2) & para r <= R rho R^33 epsilon0 epsilonr cdot 1r & para r > R

Exercícios relacionados