Uma esfera de material dielétrico linear possui uma densidade de carga livre uniforme
, raio
e constante dielétrica
. Descreva o potencial em todo o espaço, usando o infinito como referência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera feita de um material dielétrico linear, que basicamente é um material que responde de forma previsível a campos elétricos. Essa esfera tem uma densidade de carga livre uniforme, que é
, um raio
e uma constante dielétrica
. Nossa missão é descobrir o potencial elétrico em todos os pontos ao redor dessa esfera, considerando que no infinito o potencial é zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre deslocamento elétrico
, campo elétrico
e polarização
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o potencial elétrico
está relacionado ao campo elétrico
pela equação
. Então, se encontrarmos o campo elétrico, podemos integrar para achar o potencial. Mas antes disso, precisamos achar o campo elétrico dentro e fora da esfera.
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico, vamos usar a Lei de Gauss para dielétricos, que é dada por:
Aqui,
é o deslocamento elétrico, que está relacionado ao campo elétrico por
, onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos considerar duas regiões: dentro da esfera (
) e fora da esfera (
).
Dentro da esfera (
):
A carga livre total dentro de uma esfera de raio
é
. Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando, temos:
Passo 5
Fora da esfera (
):
A carga livre total na esfera inteira é
. Aplicando a Lei de Gauss fora da esfera:
Simplificando, obtemos:
Passo 6
Agora que temos o campo elétrico em ambas as regiões, podemos encontrar o potencial. Sabemos que:
Vamos calcular essa integral para cada região.
Para
:
Para
:
Primeiro, precisamos integrar o campo de até
, e depois de
até o infinito:
Primeiro, precisamos integrar o campo de
Simplificando:
Resposta
Portanto, o potencial elétrico
em todo o espaço é dado por: