A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações
e
e das retas de equações
e
. Também estão indicadas as regiões
e
que se tocam no ponto
.
Calcule a integral
. (Sugestão: use
.)
Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla sobre a região
usando
. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, e entender como as curvas e retas delimitam a região
. Também vamos usar um pouquinho de geometria para identificar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas e retas que delimitam a região
:
- As parábolas são
e . - As retas são
, , , e .
Vamos reescrever essas equações para facilitar:
-
(parábola 1) -
que simplifica para (parábola 2) -
(reta 1) -
(reta 2) -
e (retas verticais) -
(reta horizontal)
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos de interseção dessas curvas para entender melhor a região
. Sabemos que as regiões
e
se tocam no ponto
.
Vamos verificar onde cada curva cruza essa regi��o:
- Na parábola
, quando , . - Na parábola
, quando , . - Nas retas
e , quando , ambas dão .
Isso confirma que todas as curvas e retas se encontram no ponto
.
Passo 4
Vamos agora determinar os limites de integração. Como a sugestão é usar
, primeiro vamos fixar
e encontrar os limites para
.
Observando as curvas:
- A parte de baixo da região está delimitada por
(reta horizontal). - A parte de cima da região está delimitada pelas parábolas, que podem depender de
.
Vamos resolver para
nas parábolas:
- Para
, temos . - Para
, resolvendo para :
então , e .
Então, para cada
na região,
varia de
até
.
Agora, precisamos determinar o intervalo de
. Observando as retas verticais
e
, vemos que
varia de
a
.
Passo 5
Agora que temos os limites de integração, vamos escrever a integral dupla:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
. A integral interna é:
Note que
é uma constante em relação a
, então podemos tirar fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Resposta
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Considere a cardioide de equação polar
, esboçada na figura abaixo, e a reta
de equação cartesiana
,
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta e as coordenadas polares do ponto do
do primeiro quadrante em que
encontra a cardioide.
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta
Considere o sólido
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.
Escreva o volume do sólido como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Escreva o volume do sólido
Considere a cardioide de equação polar
, esboçada na figura abaixo, e a reta
de equação cartesiana
,
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Calcule, utilizando coordenadas polares, a integral dupla
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