A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações x-y^2=0 e 3 x=18+y^2 e das retas de equações x-3 y=0, x+3 y=18, x=0, x=9 e y=0. Também estão indicadas as regiões R e T que se tocam no ponto P=(9,3).
Calcule a integral integral duplaR 13 y e^(x-6)^2 d A. (Sugestão: use d y d x.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla sobre a região usando . Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, e entender como as curvas e retas delimitam a região . Também vamos usar um pouquinho de geometria para identificar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas e retas que delimitam a região :
  • As parábolas são e .
  • As retas são , , , e .
Vamos reescrever essas equações para facilitar:
  • (parábola 1)
  • que simplifica para (parábola 2)
  • (reta 1)
  • (reta 2)
  • e (retas verticais)
  • (reta horizontal)

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de interseção dessas curvas para entender melhor a região . Sabemos que as regiões e se tocam no ponto .
Vamos verificar onde cada curva cruza essa regi��o:
  • Na parábola , quando , .
  • Na parábola , quando , .
  • Nas retas e , quando , ambas dão .
Isso confirma que todas as curvas e retas se encontram no ponto .

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração. Como a sugestão é usar , primeiro vamos fixar e encontrar os limites para .
Observando as curvas:
  • A parte de baixo da região está delimitada por (reta horizontal).
  • A parte de cima da região está delimitada pelas parábolas, que podem depender de .
Vamos resolver para nas parábolas:
  • Para , temos .
  • Para , resolvendo para :
    então , e .
Então, para cada na região, varia de até .
Agora, precisamos determinar o intervalo de . Observando as retas verticais e , vemos que varia de a .

Passo 5

Agora que temos os limites de integração, vamos escrever a integral dupla:
integral duplaR 13 y e^(x-6)^2 , dA = integralx=0^9 integraly=0^raiz3x - 18 13 y e^(x-6)^2 , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^raiz3x - 18 13 y e^(x-6)^2 , dy . A integral interna é:
13 e^(x-6)^2 integral0^raiz3x - 18 y , dy
Note que 13 e^(x-6)^2 [ 12 y^2 ]0^raiz3x - 18 = 13 e^(x-6)^2 cdot 12 (3x - 18) é uma constante em relação a 16 e^(x-6)^2 (3x - 18) = 12 e^(x-6)^2 (x - 6) , então podemos tirar fora da integral:
A integral de em relação a é , então:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^9 12 (x - 6) e^(x-6)^2 , dx de 12 integralu(0)^u(9) e^u cdot du2 = 14 integral(0 - 6)^2^(9 - 6)^2 e^u , du = 14 [ e^u ]36^9 = 14 (e^9 - e^36) a :
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Resposta

integral duplaR 13 y e^(x-6)^2 , dA = 14 ( e^9 - e^36 )

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