A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações e e das retas de equações e . Também estão indicadas as regiões e que se tocam no ponto .
Calcule a integral . (Sugestão: use .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla sobre a região usando . Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, e entender como as curvas e retas delimitam a região . Também vamos usar um pouquinho de geometria para identificar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas e retas que delimitam a região :
  • As parábolas são e .
  • As retas são , , , e .
Vamos reescrever essas equações para facilitar:
  • (parábola 1)
  • que simplifica para (parábola 2)
  • (reta 1)
  • (reta 2)
  • e (retas verticais)
  • (reta horizontal)

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de interseção dessas curvas para entender melhor a região . Sabemos que as regiões e se tocam no ponto .
Vamos verificar onde cada curva cruza essa regi��o:
  • Na parábola , quando , .
  • Na parábola , quando , .
  • Nas retas e , quando , ambas dão .
Isso confirma que todas as curvas e retas se encontram no ponto .

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração. Como a sugestão é usar , primeiro vamos fixar e encontrar os limites para .
Observando as curvas:
  • A parte de baixo da região está delimitada por (reta horizontal).
  • A parte de cima da região está delimitada pelas parábolas, que podem depender de .
Vamos resolver para nas parábolas:
  • Para , temos .
  • Para , resolvendo para :
    então , e .
Então, para cada na região, varia de até .
Agora, precisamos determinar o intervalo de . Observando as retas verticais e , vemos que varia de a .

Passo 5

Agora que temos os limites de integração, vamos escrever a integral dupla:

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a . A integral interna é:
Note que é uma constante em relação a , então podemos tirar fora da integral:
A integral de em relação a é , então:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de a :
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Resposta

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