Considere a cardioide de equação polar
, esboçada na figura abaixo, e a reta
de equação cartesiana
,
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta
e as coordenadas polares do ponto do
do primeiro quadrante em que
encontra a cardioide.
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com coordenadas polares e cartesianas. Temos uma cardioide com a equação polar
e uma reta no plano cartesiano com a equação
. Nosso objetivo é:
- Transformar a equação da reta
para coordenadas polares. - Encontrar as coordenadas polares do ponto
que está no primeiro quadrante onde a reta e a cardioide se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação da reta
para coordenadas polares. Lembre-se que:
Então, substituindo na equação da reta:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Isso nos dá a relação entre seno e cosseno para os ângulos onde a reta passa.
Passo 3
Agora, vamos resolver
. Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Isso implica que:
Como estamos interessados no primeiro quadrante, escolhemos
.
Passo 4
Com
, vamos encontrar o valor de
na equação da cardioide:
Sabemos que
, então:
Resposta
O ponto
no primeiro quadrante onde a reta
intercepta a cardioide tem coordenadas polares:
Exercícios relacionados
Considere o sólido
delimitado inferiormente pelo plano
, superiormente pelo paraboloide
e lateralmente pelo cilindro
.
Escreva o volume do sólido como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Escreva o volume do sólido
Considere a cardioide de equação
e o círculo
centrado no ponto
e com raio
, esboçados na figura abaixo.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região situada dentro do círculo
e fora da cardioide.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região
A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações
e
e das retas de equações
e
. Também estão indicadas as regiões
e
que se tocam no ponto
.
Calcule a integral . (Sugestão: use
.)
Calcule a integral
Considere a cardioide de equação polar
, esboçada na figura abaixo, e a reta
de equação cartesiana
,
Calcule, utilizando coordenadas polares, a integral dupla , sendo
a região do primeiro quadrante situada acima da reta
e dentro da cardioide.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a integral dupla