Considere a cardioide de equação polar r = 2 + 2 cos(θ), esboçada na figura abaixo, e a reta L de equação cartesiana y = x,
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta L e as coordenadas polares do ponto do P do primeiro quadrante em que L encontra a cardioide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com coordenadas polares e cartesianas. Temos uma cardioide com a equação polar e uma reta no plano cartesiano com a equação . Nosso objetivo é:
  1. Transformar a equação da reta para coordenadas polares.
  2. Encontrar as coordenadas polares do ponto que está no primeiro quadrante onde a reta e a cardioide se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação da reta para coordenadas polares. Lembre-se que:
Então, substituindo na equação da reta:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que ):
Isso nos dá a relação entre seno e cosseno para os ângulos onde a reta passa.

Passo 3

Agora, vamos resolver . Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Isso implica que:
Como estamos interessados no primeiro quadrante, escolhemos .

Passo 4

Com , vamos encontrar o valor de na equação da cardioide:
Sabemos que , então:

Resposta

O ponto no primeiro quadrante onde a reta intercepta a cardioide tem coordenadas polares:

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