Considere a cardioide de equação polar , esboçada na figura abaixo, e a reta de equação cartesiana ,
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta e as coordenadas polares do ponto do do primeiro quadrante em que encontra a cardioide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com coordenadas polares e cartesianas. Temos uma cardioide com a equação polar e uma reta no plano cartesiano com a equação . Nosso objetivo é:
  1. Transformar a equação da reta para coordenadas polares.
  2. Encontrar as coordenadas polares do ponto que está no primeiro quadrante onde a reta e a cardioide se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação da reta para coordenadas polares. Lembre-se que:
Então, substituindo na equação da reta:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que ):
Isso nos dá a relação entre seno e cosseno para os ângulos onde a reta passa.

Passo 3

Agora, vamos resolver . Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Isso implica que:
Como estamos interessados no primeiro quadrante, escolhemos .

Passo 4

Com , vamos encontrar o valor de na equação da cardioide:
Sabemos que , então:

Resposta

O ponto no primeiro quadrante onde a reta intercepta a cardioide tem coordenadas polares:

Exercícios relacionados

Considere o sólido delimitado inferiormente pelo plano , superiormente pelo paraboloide e lateralmente pelo cilindro .
Escreva o volume do sólido como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Considere a cardioide de equação e o círculo centrado no ponto e com raio , esboçados na figura abaixo.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região situada dentro do círculo e fora da cardioide.
A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações e e das retas de equações e . Também estão indicadas as regiões e que se tocam no ponto .
Calcule a integral . (Sugestão: use .)
Considere a cardioide de equação polar , esboçada na figura abaixo, e a reta de equação cartesiana ,
Calcule, utilizando coordenadas polares, a integral dupla , sendo a região do primeiro quadrante situada acima da reta e dentro da cardioide.