Considere o sólido S delimitado inferiormente pelo plano z = 0, superiormente pelo paraboloide z = 9 - x^2 - y^2 e lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 4.
Escreva o volume do sólido S como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido S que está limitado debaixo pelo plano z = 0, em cima por um paraboloide dado por , e pelos lados por um cilindro . Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro tem raio , então nossa área de integração no plano xy será um círculo de raio . As coordenadas polares são perfeitas para essa situação, pois facilitam a integração sobre círculos.

Passo 3

Em coordenadas polares, temos que e . A equação do paraboloide fica e o cilindro define que r varia de 0 a . O ângulo theta varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 4

O volume V pode ser calculado integrando a altura do sólido sobre a área de base. A altura aqui é a diferença entre o paraboloide e o plano z = 0, ou seja, . Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui, multiplicamos por r porque, na mudança para coordenadas polares, o elemento de área é .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a r:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

O volume do sólido S é unidades cúbicas.

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