Considere o sólido
delimitado inferiormente pelo plano
, superiormente pelo paraboloide
e lateralmente pelo cilindro
.
Escreva o volume do sólido
como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Escreva o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido
que está limitado debaixo pelo plano
, em cima por um paraboloide dado por
, e pelos lados por um cilindro
. Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro
tem raio
, então nossa área de integração no plano
será um círculo de raio
. As coordenadas polares são perfeitas para essa situação, pois facilitam a integração sobre círculos.
Passo 3
Em coordenadas polares, temos que
e
. A equação do paraboloide fica
e o cilindro define que
varia de
a
. O ângulo
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
O volume
pode ser calculado integrando a altura do sólido sobre a área de base. A altura aqui é a diferença entre o paraboloide e o plano
, ou seja,
. Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui, multiplicamos por
porque, na mudança para coordenadas polares, o elemento de área
é
.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Considere a cardioide de equação
e o círculo
centrado no ponto
e com raio
, esboçados na figura abaixo.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região situada dentro do círculo
e fora da cardioide.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região
Considere a integral dupla iterada
. Escreva
como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Considere a cardioide de equação polar
, esboçada na figura abaixo, e a reta
de equação cartesiana
,
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta e as coordenadas polares do ponto do
do primeiro quadrante em que
encontra a cardioide.
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta
A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações
e
e das retas de equações
e
. Também estão indicadas as regiões
e
que se tocam no ponto
.
Calcule a integral . (Sugestão: use
.)
Calcule a integral