Considere o sólido delimitado inferiormente pelo plano , superiormente pelo paraboloide e lateralmente pelo cilindro .
Escreva o volume do sólido como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido que está limitado debaixo pelo plano , em cima por um paraboloide dado por , e pelos lados por um cilindro . Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro tem raio , então nossa área de integração no plano será um círculo de raio . As coordenadas polares são perfeitas para essa situação, pois facilitam a integração sobre círculos.

Passo 3

Em coordenadas polares, temos que e . A equação do paraboloide fica e o cilindro define que varia de a . O ângulo varia de a para cobrir todo o círculo.

Passo 4

O volume pode ser calculado integrando a altura do sólido sobre a área de base. A altura aqui é a diferença entre o paraboloide e o plano , ou seja, . Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui, multiplicamos por porque, na mudança para coordenadas polares, o elemento de área é .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Considere a cardioide de equação e o círculo centrado no ponto e com raio , esboçados na figura abaixo.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a área da região situada dentro do círculo e fora da cardioide.
Considere a integral dupla iterada . Escreva como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
Considere a cardioide de equação polar , esboçada na figura abaixo, e a reta de equação cartesiana ,
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta e as coordenadas polares do ponto do do primeiro quadrante em que encontra a cardioide.
A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações e e das retas de equações e . Também estão indicadas as regiões e que se tocam no ponto .
Calcule a integral . (Sugestão: use .)