A que distância ao longo do eixo z de um disco isolante carregado, de raio R, a intensidade do campo elétrico é igual à metade do valor do campo na superfície do disco, no seu centro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a distância ao longo do eixo de um disco carregado isolante, de raio , onde a intensidade do campo elétrico é metade do valor do campo na superfície do disco, no seu centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico gerado por um disco carregado. Precisamos entender a fórmula do campo elétrico no eixo de um disco carregado e ajustar os valores para encontrar a distância desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico no eixo de um disco carregado. A fórmula para o campo elétrico E(z) = sigma2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2) a uma distância do centro do disco ao longo do eixo é dada por:
Aqui, é a densidade superficial de carga do disco e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, queremos que o campo elétrico E(0) = sigma2varepsilon0 (1 - 0raiz0^2 + R^2) = sigma2varepsilon0 seja metade do valor do campo no centro do disco. Vamos primeiro calcular o campo no centro do disco, ou seja, quando :
Então, queremos .

Passo 4

Vamos igualar as duas expressões para encontrar sigma2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2) = sigma4varepsilon0 :
1 - zraizz^2 + R^2 = 12
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Resolvendo a equação acima:
1 - zraizz^2 + R^2 = 12
zraizz^2 + R^2 = 12
Agora, vamos isolar z = 12 raizz^2 + R^2 :
z^2 = 14 (z^2 + R^2)
Elevando ambos os lados ao quadrado:
4z^2 = z^2 + R^2
3z^2 = R^2
z^2 = R^23
z = Rraiz3

Resposta

A distância é igual a .

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