Uma longa casca cilíndrica tem raio interno a, raio externo b e conduz corrente I paralela ao eixo central. Considere que, no interior do material da casca, a densidade de corrente está uniformemente distribuída. Determine uma expressão para a magnitude do campo magnético para (b) a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma casca cilíndrica longa que tem um raio interno a, um raio externo b e conduz uma corrente I paralela ao eixo central. A gente precisa encontrar a expressão para a magnitude do campo magnético quando a distância r do eixo está entre a e b (ou seja, a < r < b). Para isso, vamos usar o conteúdo de Eletromagnetismo, mais especificamente a Lei de Ampère. Vamos precisar entender como a corrente está distribuída na casca e como aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a corrente está distribuída na casca. A densidade de corrente, que é a corrente por unidade de área, está uniformemente distribuída na casca. A área da casca cilíndrica é a diferença entre a área do círculo de raio b e a área do círculo de raio a. A fórmula para a área de um círculo é pi r^2, então a área da casca é:
Acasca = pi b^2 - pi a^2 = pi (b^2 - a^2)

Passo 3

Como a corrente total I está distribuída uniformemente nessa área, a densidade de corrente J é dada por:
J = IAcasca = Ipi (b^2 - a^2)
Isso significa que, para cada área da casca, temos uma corrente proporcional a J.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o campo magnético a uma distância r do eixo, onde a < r < b. Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que diz que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética do vácuo mu0 vezes a corrente total que passa pelo interior desse caminho:
oint B cdot dl = mu0 Ienc

Passo 5

Vamos escolher um caminho circular de raio r centrado no eixo da casca. Como o campo magnético B é simétrico e paralelo ao caminho escolhido, a integral fica mais simples:
B cdot 2pi r = mu0 Ienc
Onde B é a magnitude do campo magnético que queremos encontrar.

Passo 6

Precisamos agora determinar a corrente total Ienc que está dentro do nosso caminho circular de raio r. Como a densidade de corrente é uniforme, a corrente encerrada é proporcional à área do círculo de raio r que está dentro da casca (que vai de a a r):
Ienc = J cdot Área = Ipi (b^2 - a^2) cdot pi (r^2 - a^2) = I (r^2 - a^2)b^2 - a^2 Á

Passo 7

Substituindo Ienc na equação da Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 cdot I (r^2 - a^2)b^2 - a^2
Agora, isolamos B:
B = mu0 I (r^2 - a^2)2pi r (b^2 - a^2)

Resposta

A magnitude do campo magnético para a < r < b é dada por:
B(r) = mu0 I (r^2 - a^2)2pi r (b^2 - a^2)

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