Uma longa casca cilíndrica tem raio interno
, raio externo
e conduz corrente
paralela ao eixo central. Considere que, no interior do material da casca, a densidade de corrente está uniformemente distribuída. Determine uma expressão para a magnitude do campo magnético para (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma casca cilíndrica longa que tem um raio interno
, um raio externo
e conduz uma corrente
paralela ao eixo central. A gente precisa encontrar a expressão para a magnitude do campo magnético quando a distância
do eixo está entre
e
(ou seja,
). Para isso, vamos usar o conteúdo de Eletromagnetismo, mais especificamente a Lei de Ampère. Vamos precisar entender como a corrente está distribuída na casca e como aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a corrente está distribuída na casca. A densidade de corrente, que é a corrente por unidade de área, está uniformemente distribuída na casca. A área da casca cilíndrica é a diferença entre a área do círculo de raio
e a área do círculo de raio
. A fórmula para a área de um círculo é
, então a área da casca é:
Passo 3
Como a corrente total
está distribuída uniformemente nessa área, a densidade de corrente
é dada por:
Isso significa que, para cada área da casca, temos uma corrente proporcional a
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o campo magnético a uma distância
do eixo, onde
. Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que diz que a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética do vácuo
vezes a corrente total que passa pelo interior desse caminho:
Passo 5
Vamos escolher um caminho circular de raio
centrado no eixo da casca. Como o campo magnético
é simétrico e paralelo ao caminho escolhido, a integral fica mais simples:
Onde
é a magnitude do campo magnético que queremos encontrar.
Passo 6
Precisamos agora determinar a corrente total
que está dentro do nosso caminho circular de raio
. Como a densidade de corrente é uniforme, a corrente encerrada é proporcional à área do círculo de raio
que está dentro da casca (que vai de
a
):
Passo 7
Substituindo
na equação da Lei de Ampère:
Agora, isolamos
:
Resposta
A magnitude do campo magnético para
é dada por: