Dois discos homogêneos com massa
e
estão atravessados perpendicularmente por um eixo em comum de raio desprezível. Não há atrito entre o eixo e os discos mas há atrito entre os discos. Assim, os discos, que estão colocados lado a lado, estão livres para rodar ao redor do eixo comum. Os seus raios são
e
, possuem a mesma espessura e as suas velocidades angulares iniciais são
e
. (a) Há conservação de momento angular? (b) Há conservação de energia? © Qual será a velocidade angular dos discos quando ambos estiverem com a mesma velocidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que envolve dois discos girando em torno de um eixo comum. O objetivo é responder três perguntas: (a) Se o momento angular é conservado, (b) Se a energia é conservada, e © Qual será a velocidade angular dos discos quando eles girarem juntos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre momento angular, conservação desse momento e como o atrito entre os discos pode afetar a energia do sistema.
Passo 2
Parte (a): Há conservação de momento angular?
Sim, o momento angular é conservado nesse caso. Isso porque não tem força externa agindo no sistema para causar um torque. O atrito que existe é entre os próprios discos, ou seja, é uma força interna. Forças internas não alteram o momento angular total do sistema. Então, a quantidade de movimento angular antes e depois dos discos interagirem permanece a mesma.
Passo 3
Parte (b): Há conservação de energia?
Não, a energia não é conservada nesse processo. O atrito entre os discos gera calor e, portanto, energia é dissipada. Mesmo que o sistema não perca momento angular, a energia mecânica está sendo convertida em outras formas de energia devido ao atrito interno.
Passo 4
Parte ©: Qual será a velocidade angular dos discos quando ambos estiverem com a mesma velocidade?
Vamos calcular isso usando a conservação do momento angular. Primeiro, precisamos encontrar o momento de inércia de cada disco. A fórmula para o momento de inércia de um disco é:
Onde:
-
é a massa do disco. -
é o raio do disco.
Calculando para cada disco:
Para o Disco 1:
Para o Disco 2:
O momento angular inicial só está no Disco 1:
Quando os discos girarem juntos com a mesma velocidade angular
:
Como o momento angular é conservado:
Resposta
A velocidade angular dos discos quando ambos estiverem com a mesma velocidade será aproximadamente 5,48 rad/s.