Considere uma casca esférica metálica de raio interno int e raio externo ext inicialmente neutra. Uma carga negativa -q está inserida no interior da casca na posição Rint/2. Calcule, a partir da lei de Gauss, o campo elétrico em: (2,5 pontos)
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Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma casca esférica metálica com raio interno e raio externo , que inicialmente está neutra. Dentro dessa casca, foi colocada uma carga negativa na posição . A questão nos pede para calcular o campo elétrico para usando a Lei de Gauss.
Vamos precisar entender:
  • Lei de Gauss: Uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com alta simetria.
  • Distribuição de carga em condutores: Como cargas se distribuem em condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Como a casca metálica é condutora e inicialmente neutra, a presença da carga no interior vai influenciar como as cargas na casca se distribuem. Por indução eletrostática:
  • Carga na superfície interna ( ): Vai se acumular uma carga para neutralizar a influência da carga dentro.
  • Carga na superfície externa ( ): Para manter a neutralidade da casca, será induzida uma carga .

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico em , usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica com raio maior que .
A Lei de Gauss é dada por:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

Vamos calcular :
  • Carga dentro da casca: (a carga central).
  • Carga na superfície interna da casca: .
  • Carga na superfície externa da casca: .
Somando todas as cargas:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
Como a superfície gaussiana é esférica e o campo elétrico é radial e de mesma magnitude em todos os pontos, podemos simplificar:
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico para é:

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A Figura 1 mostra três partículas de cargas e , todas situadas a uma distância da origem. (2,5 pontos)
© Esboce as linhas do campo elétrico resultante considerando o sistema formado apenas pelas cargas e . Considere .
Suponha que as funções abaixo são definidas no máximo subconjunto de possível. Por exemplo, se é definido por
obviamente a função não é definida em e . Então assumimos que , isto é, menos
ponto onde a função não é definida.
. (Analise se são iguais. Também analise se são iguais.)
Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(a) [Conv. - compare no limite a sequência com a sequência ]
Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b) [Conv. Cond. - compare a sequência com para ver que diverge e a depois use o teste das séries alternadas para série original]