Considere uma casca esférica metálica de raio interno
int e raio externo
ext inicialmente neutra. Uma carga negativa -q está inserida no interior da casca na posição Rint/2. Calcule, a partir da lei de Gauss, o campo elétrico em: (2,5 pontos)
©
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Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma casca esférica metálica com raio interno
e raio externo
, que inicialmente está neutra. Dentro dessa casca, foi colocada uma carga negativa
na posição
. A questão nos pede para calcular o campo elétrico para
usando a Lei de Gauss.
Vamos precisar entender:
- Lei de Gauss: Uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com alta simetria.
- Distribuição de carga em condutores: Como cargas se distribuem em condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Como a casca metálica é condutora e inicialmente neutra, a presença da carga
no interior vai influenciar como as cargas na casca se distribuem. Por indução eletrostática:
- Carga na superfície interna (
): Vai se acumular uma carga para neutralizar a influência da carga dentro. - Carga na superfície externa (
): Para manter a neutralidade da casca, será induzida uma carga .
Passo 3
Agora, para encontrar o campo elétrico em
, usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica com raio
maior que
.
A Lei de Gauss é dada por:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 4
Vamos calcular
:
- Carga dentro da casca:
(a carga central). - Carga na superfície interna da casca:
. - Carga na superfície externa da casca:
.
Somando todas as cargas:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Como a superfície gaussiana é esférica e o campo elétrico é radial e de mesma magnitude em todos os pontos, podemos simplificar:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico para
é:
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A Figura 1 mostra três partículas de cargas
e
, todas situadas a uma distância
da origem. (2,5 pontos)
© Esboce as linhas do campo elétrico resultante considerando o sistema formado apenas pelas cargas e
. Considere
.
© Esboce as linhas do campo elétrico resultante considerando o sistema formado apenas pelas cargas
Suponha que as funções abaixo são definidas no máximo subconjunto de
possível. Por exemplo, se
é definido por
obviamente a função não é definida em
e
. Então assumimos que
, isto é,
menos
ponto onde a função não é definida.
. (Analise se
são iguais. Também analise se
são iguais.)
Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(a) [Conv. - compare no limite a sequência
com a sequência
]
(a)
Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b) [Conv. Cond. - compare a sequência
com
para ver que
diverge e a depois use o teste das séries alternadas para série original]
(b)