Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b)
[Conv. Cond. - compare a sequência
com
para ver que
diverge e a depois use o teste das séries alternadas para série original]
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série alternada
converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e os testes de convergência que a gente pode usar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente olha para a série sem o termo alternado, ou seja,
.
Passo 3
Aí, simplificamos o denominador:
, então a série fica
, que é igual a
.
Passo 4
Agora, comparamos essa série com a série
, que sabemos que é a série harmônica e diverge. Observamos que
cresce mais devagar que
, então
diminui mais devagar que
. Pelo Teste de Comparação, se
diverge e nossos termos são maiores ou iguais, então
também diverge.
Passo 5
Como a série das partes absolutas diverge, a gente precisa verificar se a série original converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste das Séries Alternadas.
Os critérios são:
- Os termos
devem ser decrescentes. - O limite dos termos quando
vai para o infinito deve ser zero.
Passo 6
Claramente,
diminui conforme
aumenta, e o limite quando
tende ao infinito é zero:
Então, os critérios do teste são satisfeitos.
Resposta
A série
converge condicionalmente.
Exercícios relacionados
Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(a) [Conv. - compare no limite a sequência
com a sequência
]
(a)
Considere uma casca esférica metálica de raio interno
int e raio externo
ext inicialmente neutra. Uma carga negativa -q está inserida no interior da casca na posição Rint/2. Calcule, a partir da lei de Gauss, o campo elétrico em: (2,5 pontos)
©
©
Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(b) [Div. - observe que
e use o critério da divergência]
(b)
Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(a) Conv. Abs. - use teste da integral para ver que a série
converge
(a)