Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b) [Conv. Cond. - compare a sequência com para ver que diverge e a depois use o teste das séries alternadas para série original]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série alternada converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e os testes de convergência que a gente pode usar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente olha para a série sem o termo alternado, ou seja, .

Passo 3

Aí, simplificamos o denominador: , então a série fica , que é igual a .

Passo 4

Agora, comparamos essa série com a série , que sabemos que é a série harmônica e diverge. Observamos que cresce mais devagar que , então diminui mais devagar que . Pelo Teste de Comparação, se diverge e nossos termos são maiores ou iguais, então também diverge.

Passo 5

Como a série das partes absolutas diverge, a gente precisa verificar se a série original converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste das Séries Alternadas.
Os critérios são:
  1. Os termos devem ser decrescentes.
  2. O limite dos termos quando vai para o infinito deve ser zero.

Passo 6

Claramente, diminui conforme aumenta, e o limite quando tende ao infinito é zero:
Então, os critérios do teste são satisfeitos.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
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