Suponha que as funções abaixo são definidas no máximo subconjunto de R possível. Por exemplo, se f: A R é definido por
f(x)=1(x-1)(x-2)
obviamente a função não é definida em x=1 e x=2. Então assumimos que A=R backslash1,2, isto é, R menos
ponto onde a função não é definida.
f(x)=-3x^2-1. (Analise se lim x 1^+ e lim x 1^-são iguais. Também analise se lim x -1^+ e lim x -1^- são iguais.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para a gente analisar os limites da função quando se aproxima de 1 e de -1, tanto pela direita ( ) quanto pela esquerda ( ). Para isso, vamos precisar entender de análise de limites e como identificar o comportamento da função perto desses pontos onde ela não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite quando x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) se aproxima de 1 pela direita, ou seja, f(x) = -3(x - 1)(x + 1) .
A função é f(x) to -3pequeno positivo to -infty . Podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:
Quando se aproxima de 1 pela direita ( ), é um número pequeno positivo e é aproximadamente 2 (positivo). Portanto, o denominador é positivo e pequeno, fazendo com que seja:

Passo 3

Agora, vamos ver o limite quando f(x) to -3pequeno negativo to +infty se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, .
Novamente, a função é .
Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ), é um número pequeno negativo e é aproximadamente 2 (positivo). Portanto, o denominador é negativo e pequeno, fazendo com que seja:

Passo 4

Vamos comparar os limites que encontramos para limx to 1^+ f(x) = -infty e limx to 1^- f(x) = +infty se aproximando de 1:
limx to 1 f(x) não existe
Como os limites são diferentes (um tende a menos infinito e o outro a mais infinito), concluímos que:
ã

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites quando f(x) to -3pequeno negativo to +infty se aproxima de -1. Primeiro, pela direita ( ).
A função continua sendo .
Quando se aproxima de -1 pela direita ( ), é um número pequeno positivo e é aproximadamente -2 (negativo). Portanto, o denominador é negativo e pequeno, fazendo com que seja:

Passo 6

Agora, o limite quando f(x) to -3pequeno positivo to -infty se aproxima de -1 pela esquerda ( ).
Ainda com .
Quando se aproxima de -1 pela esquerda ( ), é um número pequeno negativo e é aproximadamente -2 (negativo). Portanto, o denominador é positivo e pequeno, fazendo com que seja:

Passo 7

Vamos comparar os limites que encontramos para limx to -1^+ f(x) = +infty e limx to -1^- f(x) = -infty se aproximando de -1:
limx to -1 f(x) não existe
Como os limites são diferentes (um tende a mais infinito e o outro a menos infinito), concluímos que:
ã

Resposta

Os limites de quando se aproxima de 1 e de -1, tanto pela direita quanto pela esquerda, não são iguais. Portanto, os limites e não coincidem, assim como e também não são iguais.

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