Suponha que as funções abaixo são definidas no máximo subconjunto de
possível. Por exemplo, se
é definido por
obviamente a função não é definida em
e
. Então assumimos que
, isto é,
menos
ponto onde a função não é definida.
. (Analise se
são iguais. Também analise se
são iguais.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para a gente analisar os limites da função
quando
se aproxima de 1 e de -1, tanto pela direita (
) quanto pela esquerda (
). Para isso, vamos precisar entender de análise de limites e como identificar o comportamento da função perto desses pontos onde ela não está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite quando
se aproxima de 1 pela direita, ou seja,
.
A função é
. Podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:
Quando
se aproxima de 1 pela direita (
),
é um número pequeno positivo e
é aproximadamente 2 (positivo). Portanto, o denominador é positivo e pequeno, fazendo com que
seja:
Passo 3
Agora, vamos ver o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja,
.
Novamente, a função é
.
Quando se aproxima de 1 pela esquerda (
),
é um número pequeno negativo e
é aproximadamente 2 (positivo). Portanto, o denominador é negativo e pequeno, fazendo com que
seja:
Quando
Passo 4
Vamos comparar os limites que encontramos para
se aproximando de 1:
Como os limites são diferentes (um tende a menos infinito e o outro a mais infinito), concluímos que:
Passo 5
Agora, vamos analisar os limites quando
se aproxima de -1. Primeiro, pela direita (
).
A função continua sendo
.
Quando se aproxima de -1 pela direita (
),
é um número pequeno positivo e
é aproximadamente -2 (negativo). Portanto, o denominador é negativo e pequeno, fazendo com que
seja:
Quando
Passo 6
Agora, o limite quando
se aproxima de -1 pela esquerda (
).
Ainda com
.
Quando se aproxima de -1 pela esquerda (
),
é um número pequeno negativo e
é aproximadamente -2 (negativo). Portanto, o denominador é positivo e pequeno, fazendo com que
seja:
Quando
Passo 7
Vamos comparar os limites que encontramos para
se aproximando de -1:
Como os limites são diferentes (um tende a mais infinito e o outro a menos infinito), concluímos que:
Resposta
Os limites de
quando
se aproxima de 1 e de -1, tanto pela direita quanto pela esquerda, não são iguais. Portanto, os limites
e
não coincidem, assim como
e
também não são iguais.
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