Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(a)
[Conv. - compare no limite a sequência
com a sequência
]
(a)
Passo 1
Então, o exercício pede para verificar se a série
converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Comparação por Limite, comparando com a série
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série original para ver como ela se comporta quando
é grande. Observando o numerador e o denominador:
Para
grande,
e
. Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 3
Com isso, percebemos que a série original se comporta similarmente a uma série p, onde cada termo é dado por
. No nosso caso,
.
Sabemos que uma série p converge se
. Como
, a série
converge.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação por Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando:
Passo 5
Como o limite é 1, que é um número finito e diferente de zero, e a série com a qual estamos comparando
converge, podemos concluir pela Comparação por Limite que a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação por Limite.
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Considere uma casca esférica metálica de raio interno
int e raio externo
ext inicialmente neutra. Uma carga negativa -q está inserida no interior da casca na posição Rint/2. Calcule, a partir da lei de Gauss, o campo elétrico em: (2,5 pontos)
©
©
A Figura 1 mostra três partículas de cargas
e
, todas situadas a uma distância
da origem. (2,5 pontos)
© Esboce as linhas do campo elétrico resultante considerando o sistema formado apenas pelas cargas e
. Considere
.
© Esboce as linhas do campo elétrico resultante considerando o sistema formado apenas pelas cargas
Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b) [Conv. Cond. - compare a sequência
com
para ver que
diverge e a depois use o teste das séries alternadas para série original]
(b)
Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(b) [Div. - observe que
e use o critério da divergência]
(b)