Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(a)
[Conv. - compare no limite a sequência
com a sequência
]
(a)
Passo 1
Então, o exercício pede para verificar se a série
converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Comparação por Limite, comparando com a série
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série original para ver como ela se comporta quando
é grande. Observando o numerador e o denominador:
Para
grande,
e
. Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 3
Com isso, percebemos que a série original se comporta similarmente a uma série p, onde cada termo é dado por
. No nosso caso,
.
Sabemos que uma série p converge se
. Como
, a série
converge.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação por Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando:
Passo 5
Como o limite é 1, que é um número finito e diferente de zero, e a série com a qual estamos comparando
converge, podemos concluir pela Comparação por Limite que a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação por Limite.