Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
(a) sumn=1^infty n+5raiz[3]n^7+2 n^2 [Conv. - compare no limite a sequência n+5raiz[3]n^7+2 n^2 com a sequência 1raiz[3]n^4 ]

Passo 1

Então, o exercício pede para verificar se a série converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Comparação por Limite, comparando com a série .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série original para ver como ela se comporta quando n+5raiz[3]n^7+2 n^2 é grande. Observando o numerador e o denominador:
nraiz[3]n^7 = nn^7/3 = n^1 - 73 = n^-43
Para grande, e . Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 3

Com isso, percebemos que a série original se comporta similarmente a uma série p, onde cada termo é dado por . No nosso caso, .
Sabemos que uma série p converge se . Como , a série converge.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação por Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limn to infty n+5raiz[3]n^7+2n^21raiz[3]n^4 = limn to infty (n+5) cdot raiz[3]n^4raiz[3]n^7+2n^2
Simplificando:
limn to infty n cdot n^4/3n^7/3 = limn to infty n^1 + 4/3n^7/3 = limn to infty n^7/3n^7/3 = 1

Passo 5

Como o limite é 1, que é um número finito e diferente de zero, e a série com a qual estamos comparando converge, podemos concluir pela Comparação por Limite que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Comparação por Limite.

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