Considere uma casca esférica de raio interno e raio externo (ou seja, uma esfera de raio que é oca de 0 a ). A densidade volumétrica é dada por , onde é uma constante e é a distância em relação ao centro da casca. Usando a lei de Gauss, obtenha o campo elétrico em função de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com raio interno e raio externo , e a densidade de carga volumétrica é . O objetivo aqui é encontrar o campo elétrico em função de usando a Lei de Gauss. Então, vamos precisar entender como a carga está distribuída e aplicar a Lei de Gauss para diferentes regiões em relação ao raio .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
Como estamos tratando de simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma intensidade em todos os pontos de uma esfera de raio e será radial. Isso simplifica o cálculo do fluxo elétrico.
Passo 3
Vamos dividir o problema em três casos diferentes:
Para : Estamos dentro da cavidade oca. Não há carga dentro dessa região, então .
Para : Estamos dentro da casca onde a densidade de carga não é nula. Precisamos calcular a carga dentro do raio .
Para : Estamos fora da casca completa, então a carga total está enclausurada.
Passo 4
Caso 1:
Como não há carga dentro dessa região, pelo Lei de Gauss:
Passo 5
Caso 2:
Aqui, precisamos calcular a carga encerrada até o raio :
Integrando:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 6
Caso 3:
Neste caso, toda a carga da casca está dentro do raio . Calculamos a carga total :