Considere uma casca esférica de raio interno a e raio externo b (ou seja, uma esfera de raio b que é oca de 0 a a ). A densidade volumétrica é dada por rho=A r^2, onde A é uma constante e r é a distância em relação ao centro da casca. Usando a lei de Gauss, obtenha o campo elétrico em função de r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com raio interno e raio externo , e a densidade de carga volumétrica é . O objetivo aqui é encontrar o campo elétrico em função de usando a Lei de Gauss. Então, vamos precisar entender como a carga está distribuída e aplicar a Lei de Gauss para diferentes regiões em relação ao raio .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico Phi = oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
Como estamos tratando de simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma intensidade em todos os pontos de uma esfera de raio e será radial. Isso simplifica o cálculo do fluxo elétrico.

Passo 3

Vamos dividir o problema em três casos diferentes:
  1. Para : Estamos dentro da cavidade oca. Não há carga dentro dessa região, então .
  2. Para : Estamos dentro da casca onde a densidade de carga não é nula. Precisamos calcular a carga dentro do raio .
  3. Para : Estamos fora da casca completa, então a carga total está enclausurada.

Passo 4

Caso 1: oint E cdot dA = 0 implies E(r) = 0
Como não há carga dentro dessa região, pelo Lei de Gauss:

Passo 5

Caso 2: Qenc = integrala^r rho , dV = integrala^r A r'^2 cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi A integrala^r r'^4 dr'
Aqui, precisamos calcular a carga encerrada até o raio Qenc = 4pi A [ r'^55 ]a^r = 4pi A5 (r^5 - a^5) :
E(r) cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0 implies E(r) = Qenc4pi varepsilon0 r^2 = A (r^5 - a^5)5 varepsilon0 r^2
Integrando:
E(r) = A (r^3 - a^5r^2)5 varepsilon0
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:

Passo 6

Caso 3: Q = integrala^b A r'^2 cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi A integrala^b r'^4 dr' = 4pi A5 (b^5 - a^5)
Neste caso, toda a carga da casca está dentro do raio E(r) cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 implies E(r) = Q4pi varepsilon0 r^2 = A (b^5 - a^5)5 varepsilon0 r^2 . Calculamos a carga total :
Aplicando a Lei de Gauss:

Resposta

O campo elétrico E(r) = 0, & para r < a A (r^3 - dfraca^5r^2)5 varepsilon0, & para a <= r <= b A (b^5 - a^5)5 varepsilon0 r^2, & para r > b em função de é dado por:

Exercícios relacionados