Considere uma casca esférica de raio interno
e raio externo
(ou seja, uma esfera de raio
que é oca de 0 a
). A densidade volumétrica é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância em relação ao centro da casca. Usando a lei de Gauss, obtenha o campo elétrico em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com raio interno
e raio externo
, e a densidade de carga volumétrica é
. O objetivo aqui é encontrar o campo elétrico
em função de
usando a Lei de Gauss. Então, vamos precisar entender como a carga está distribuída e aplicar a Lei de Gauss para diferentes regiões em relação ao raio
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico
através de uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela constante
:
Como estamos tratando de simetria esférica, o campo elétrico
terá a mesma intensidade em todos os pontos de uma esfera de raio
e será radial. Isso simplifica o cálculo do fluxo elétrico.
Passo 3
Vamos dividir o problema em três casos diferentes:
- Para
: Estamos dentro da cavidade oca. Não há carga dentro dessa região, então . - Para
: Estamos dentro da casca onde a densidade de carga não é nula. Precisamos calcular a carga dentro do raio . - Para
: Estamos fora da casca completa, então a carga total está enclausurada.
Passo 4
Caso 1:
Como não há carga dentro dessa região, pelo Lei de Gauss:
Como não há carga dentro dessa região, pelo Lei de Gauss:
Passo 5
Caso 2:
Aqui, precisamos calcular a carga encerrada até o raio :
Aqui, precisamos calcular a carga encerrada até o raio
Integrando:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 6
Caso 3:
Neste caso, toda a carga da casca está dentro do raio . Calculamos a carga total
:
Neste caso, toda a carga da casca está dentro do raio
Aplicando a Lei de Gauss:
Resposta
O campo elétrico
em função de
é dado por: