Considere uma casca esférica de raio interno e raio externo (ou seja, uma esfera de raio que é oca de 0 a ). A densidade volumétrica é dada por , onde é uma constante e é a distância em relação ao centro da casca. Usando a lei de Gauss, obtenha o campo elétrico em função de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com raio interno e raio externo , e a densidade de carga volumétrica é . O objetivo aqui é encontrar o campo elétrico em função de usando a Lei de Gauss. Então, vamos precisar entender como a carga está distribuída e aplicar a Lei de Gauss para diferentes regiões em relação ao raio .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
Como estamos tratando de simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma intensidade em todos os pontos de uma esfera de raio e será radial. Isso simplifica o cálculo do fluxo elétrico.

Passo 3

Vamos dividir o problema em três casos diferentes:
  1. Para : Estamos dentro da cavidade oca. Não há carga dentro dessa região, então .
  2. Para : Estamos dentro da casca onde a densidade de carga não é nula. Precisamos calcular a carga dentro do raio .
  3. Para : Estamos fora da casca completa, então a carga total está enclausurada.

Passo 4

Caso 1:
Como não há carga dentro dessa região, pelo Lei de Gauss:

Passo 5

Caso 2:
Aqui, precisamos calcular a carga encerrada até o raio :
Integrando:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:

Passo 6

Caso 3:
Neste caso, toda a carga da casca está dentro do raio . Calculamos a carga total :
Aplicando a Lei de Gauss:

Resposta

O campo elétrico em função de é dado por:

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