Uma esfera condutora uniformemente carregada com um raio possui uma densidade superficial de cargas . (a) Determine a carga da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática! A gente tem uma esfera condutora carregada de maneira uniforme. O raio dela é de e a densidade superficial de carga é ². Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga total dessa esfera. Para isso, vamos precisar entender como calcular a carga a partir da densidade superficial e da área da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade superficial de carga ( ) nos dá a quantidade de carga por unidade de área. Para encontrar a carga total ( ) da esfera, a gente multiplica essa densidade pela área total da superfície da esfera.
A fórmula para a carga total é:
Onde é a área da superfície da esfera.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da superfície da esfera. A fórmula da área de uma esfera é:
²
Sabemos que o raio ( ) é de . Então:
²

Passo 4

Com a área calculada, vamos voltar para a fórmula da carga total:
²²
Fazendo a multiplicação:

Resposta

A carga total da esfera é , o que aproximadamente dá .

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