Suponha que o campo elétrico em uma determinada região é dado por , em coordenadas esféricas ( é uma constante de dimensões apropriadas).
(b) ( 1,5 ponto) Encontre a carga elétrica total contida em uma esfera de raio , centrada na origem e com a distribuição de cargas idêntica a obtida no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem um campo elétrico dado por em coordenadas esféricas, onde é uma constante. A pergunta é para achar a carga elétrica total dentro de uma esfera de raio centrada na origem. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga elétrica envolvida.

Passo 2

Primeiro, lembra como funciona a Lei de Gauss? Ela diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo :
Como a esfera é simétrica e o campo elétrico é radial, essa integral fica mais fácil de calcular.

Passo 3

Vamos calcular a integral do campo elétrico sobre a superfície da esfera. O vetor área numa superfície esférica de raio também é radial e tem magnitude . Então, o produto escalar simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar isso sobre toda a superfície da esfera. As integrais sobre de 0 a e sobre de 0 a são conhecidas:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Resolvendo para :

Resposta

A carga elétrica total contida na esfera de raio é

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Qual a frequência fundamental de um tubo sonoro aberto, de comprimento , quando soprado com ar? Velocidade de propagação do som no ar v .
Considere uma casca esférica de raio cuja densidade superficial de cargas é uniformemente distribuída. Determine o vetor campo elétrico em função da posição , e demais constantes, nas seguintes regiões:
(b) ponto)
Uma corda de 100 g de massa e 1 m de comprimento vibra no modo fundamental, próxima de uma das extremidades de um tubo aberto de 4 m de comprimento. 0 tubo, então, ressoa, também no modo fundamental. Sendo de a velocidade do som no ar do tubo, calcule a foça tensora na corda. (R: 640 N )
Uma corda vibrante homogênea, de comprimento e massa 40 g , emite 0 som fundamental quando está submetida a uma tração de 160 N . A frequência do Harmônico desse som fundamental é:
a) 200 HZ
b) 150 Hz
c) 125 Hz
d) 100 Hz
e) 75 Hz