Suponha que o campo elétrico em uma determinada região é dado por E=kappa r^3 r, em coordenadas esféricas ( kappa é uma constante de dimensões apropriadas).
(b) ( 1,5 ponto) Encontre a carga elétrica total contida em uma esfera de raio R, centrada na origem e com a distribuição de cargas idêntica a obtida no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem um campo elétrico dado por em coordenadas esféricas, onde é uma constante. A pergunta é para achar a carga elétrica total dentro de uma esfera de raio centrada na origem. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga elétrica envolvida.

Passo 2

Primeiro, lembra como funciona a Lei de Gauss? Ela diz que a integral do campo elétrico ointS E cdot dA = Qtotalvarepsilon0 sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo :
Como a esfera é simétrica e o campo elétrico é radial, essa integral fica mais fácil de calcular.

Passo 3

Vamos calcular a integral do campo elétrico sobre a superfície da esfera. O vetor área E cdot dA = kappa R^3 cdot R^2 sintheta dtheta dphi = kappa R^5 sintheta dtheta dphi numa superfície esférica de raio também é radial e tem magnitude . Então, o produto escalar simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar isso sobre toda a superfície da esfera. As integrais sobre ointS E cdot dA = kappa R^5 integral0^2pi integral0^pi sintheta dtheta dphi = kappa R^5 cdot 4pi de 0 a e sobre de 0 a são conhecidas:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
kappa R^5 cdot 4pi = Qtotalvarepsilon0
Resolvendo para Qtotal = 4pi kappa varepsilon0 R^5 :

Resposta

A carga elétrica total contida na esfera de raio Qtotal = 4pi kappa varepsilon0 R^5 é

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