Suponha que o campo elétrico em uma determinada região é dado por
, em coordenadas esféricas (
é uma constante de dimensões apropriadas).
(b) ( 1,5 ponto) Encontre a carga elétrica total contida em uma esfera de raio
, centrada na origem e com a distribuição de cargas idêntica a obtida no item (a).
(b) ( 1,5 ponto) Encontre a carga elétrica total contida em uma esfera de raio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem um campo elétrico dado por
em coordenadas esféricas, onde
é uma constante. A pergunta é para achar a carga elétrica total dentro de uma esfera de raio
centrada na origem. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga elétrica envolvida.
Passo 2
Primeiro, lembra como funciona a Lei de Gauss? Ela diz que a integral do campo elétrico
sobre uma superfície fechada
é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Como a esfera é simétrica e o campo elétrico é radial, essa integral fica mais fácil de calcular.
Passo 3
Vamos calcular a integral do campo elétrico sobre a superfície da esfera. O vetor área
numa superfície esférica de raio
também é radial e tem magnitude
. Então, o produto escalar
simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos integrar isso sobre toda a superfície da esfera. As integrais sobre
de 0 a
e sobre
de 0 a
são conhecidas:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Resolvendo para
:
Resposta
A carga elétrica total contida na esfera de raio
é