Considere um disco de raio a uniformemente carregado com densidade superficial sigma. Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o disco esteja no plano O X Y e a origem coincida com o centro do disco.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo disco no eixo O Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o potencial eletrostático gerado por um disco uniformemente carregado no eixo z. Estamos trabalhando com eletrostática, mais especificamente com a teoria do potencial elétrico. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e integrar a contribuição de cada elemento de carga do disco ao potencial total no ponto ao longo do eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o disco no plano XY com raio e densidade superficial de carga . Queremos encontrar o potencial elétrico no ponto ao longo do eixo Z a uma distância do centro do disco.

Passo 3

Vamos considerar um elemento infinitesimal de área do disco, que em coordenadas polares é . A carga desse elemento é .

Passo 4

O potencial elétrico dV = 14pivarepsilon0 dqraizr^2 + z^2 devido a esse elemento de carga no ponto a uma distância ao longo do eixo Z é dado por:
Onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos o potencial.

Passo 5

Substituindo dV = 14pivarepsilon0 sigma , r , dr , dthetaraizr^2 + z^2 na expressão do potencial:

Passo 6

Como o potencial total V = sigma4pivarepsilon0 integral0^a integral0^2pi r , dtheta , drraizr^2 + z^2 é a soma de todos esses pequenos potenciais , vamos integrar sobre todo o disco. Primeiro, integramos em relação a de 0 a :

Passo 7

Integrando em integral0^2pi dtheta = 2pi :
V = sigma4pivarepsilon0 times 2pi integral0^a r , drraizr^2 + z^2 = sigma2varepsilon0 integral0^a r , drraizr^2 + z^2
Então, a expressão fica:

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral:
integral r , drraizr^2 + z^2
Fazendo a substituição integral r , drraizr^2 + z^2 = 12 integral duraizu = 12 times 2raizu = raizu = raizr^2 + z^2 , então , o que nos dá . Então:

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 0 a integral0^a r , drraizr^2 + z^2 = raiza^2 + z^2 - raiz0 + z^2 = raiza^2 + z^2 - z :

Passo 10

Substituindo de volta na expressão do potencial:
V = sigma2varepsilon0 ( raiza^2 + z^2 - z )

Resposta

O potencial eletrostático no ponto ao longo do eixo V = sigma2varepsilon0 ( raiza^2 + z^2 - z ) gerado pelo disco é:

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