Considere um disco de raio
uniformemente carregado com densidade superficial
. Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o disco esteja no plano
e a origem coincida com o centro do disco.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo disco no eixo
.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo disco no eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o potencial eletrostático gerado por um disco uniformemente carregado no eixo z. Estamos trabalhando com eletrostática, mais especificamente com a teoria do potencial elétrico. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e integrar a contribuição de cada elemento de carga do disco ao potencial total no ponto ao longo do eixo z.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o disco no plano XY com raio
e densidade superficial de carga
. Queremos encontrar o potencial elétrico no ponto ao longo do eixo Z a uma distância
do centro do disco.
Passo 3
Vamos considerar um elemento infinitesimal de área do disco, que em coordenadas polares é
. A carga desse elemento é
.
Passo 4
O potencial elétrico
devido a esse elemento de carga no ponto a uma distância
ao longo do eixo Z é dado por:
Onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos o potencial.
Passo 5
Substituindo
na expressão do potencial:
Passo 6
Como o potencial total
é a soma de todos esses pequenos potenciais
, vamos integrar sobre todo o disco. Primeiro, integramos em relação a
de 0 a
:
Passo 7
Integrando em
:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Agora, vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, então
, o que nos dá
. Então:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão do potencial:
Resposta
O potencial eletrostático no ponto ao longo do eixo
gerado pelo disco é:
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