Considere uma casca hemisférica de raio uniformemente carregada com densidade superficial de carga . O hemisfério está orientado de modo que seu plano base esteja no plano com o centro na origem. Determine a expressão para o campo elétrico em um ponto arbitrário no eixo distinto da origem e então analise o comportamento do campo elétrico para pontos em que e .
Respostas:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática onde temos uma casca hemisférica com raio e densidade superficial de carga . Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto qualquer ao longo do eixo que não esteja na origem. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico devido a distribuições de carga e integrais sobre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga pode ser calculado somando (integrando) os campos elétricos de cada pequeno elemento de carga na superfície. Como a casca é hemisférica e está orientada de modo que sua base está no plano , podemos aproveitar a simetria para simplificar nossos cálculos.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de área na superfície da casca. A carga nesse elemento é , onde é a densidade superficial de carga. O campo elétrico devido a esse elemento no ponto no eixo será .

Passo 4

Devido à simetria da casca, apenas as componentes do campo elétrico na direção se somam; as componentes nas direções e se cancelam. Portanto, podemos focar apenas na componente .

Passo 5

Vamos parametrizar a superfície hemisférica usando coordenadas esféricas. Para cada ponto na superfície, temos:
onde é o ângulo polar e o ângulo azimutal.

Passo 6

A distância entre o elemento de carga e o ponto no eixo é:
Mas, por simplicidade, podemos expressar o campo diferencial como:

Passo 7

Substituindo na expressão de , temos:

Passo 8

Integrando sobre todo o volume da casca hemisférica, os limites de integração são a e a :

Passo 9

Resolvendo a integral em , que é de a , simplifica a expressão para:

Passo 10

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica:
Isso simplifica a integral para:
onde e .

Passo 11

Após resolver a integral, obtemos:

Passo 12

Agora, analisamos os dois casos solicitados:
  1. Para (ou seja, muito menor que ):
    Isso ocorre porque, quando é muito pequeno comparado a , o campo elétrico se comporta como se fosse de uma superfície infinita plana.
  2. Para (ou seja, muito maior que ):
    Aqui, o campo elétrico decai proporcionalmente a , semelhante ao campo de uma carga pontual.

Resposta

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