Considere uma casca hemisférica de raio R uniformemente carregada com densidade superficial de carga sigma. O hemisfério está orientado de modo que seu plano base esteja no plano x y com o centro na origem. Determine a expressão para o campo elétrico E em um ponto arbitrário no eixo z distinto da origem e então analise o comportamento do campo elétrico para pontos em que z>R e z<.
Respostas:
z<
z>>R Ez=sigma R^22 epsilon0 z^2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática onde temos uma casca hemisférica com raio e densidade superficial de carga . Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto qualquer ao longo do eixo que não esteja na origem. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico devido a distribuições de carga e integrais sobre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga pode ser calculado somando (integrando) os campos elétricos de cada pequeno elemento de carga na superfície. Como a casca é hemisférica e está orientada de modo que sua base está no plano , podemos aproveitar a simetria para simplificar nossos cálculos.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de área na superfície da casca. A carga nesse elemento é , onde é a densidade superficial de carga. O campo elétrico devido a esse elemento no ponto no eixo será .

Passo 4

Devido à simetria da casca, apenas as componentes do campo elétrico na direção se somam; as componentes nas direções e se cancelam. Portanto, podemos focar apenas na componente .

Passo 5

Vamos parametrizar a superfície hemisférica usando coordenadas esféricas. Para cada ponto na superfície, temos:
dA = R^2 sintheta dtheta dphi
onde é o ângulo polar e o ângulo azimutal.

Passo 6

A distância entre o elemento de carga r = raizR^2 + z^2 - 2Rzcostheta e o ponto dEz = 14piepsilon0 dq cdot (z - Rcostheta)(R^2 + z^2 - 2Rzcostheta)^3/2 no eixo é:
Mas, por simplicidade, podemos expressar o campo diferencial como:

Passo 7

Substituindo dEz = sigma R^2 sintheta (z - Rcostheta)4piepsilon0 (R^2 + z^2 - 2Rzcostheta)^3/2 dtheta dphi na expressão de , temos:

Passo 8

Integrando sobre todo o volume da casca hemisférica, os limites de integração são Ez = integral0^2pi integral0^pi/2 sigma R^2 sintheta (z - Rcostheta)4piepsilon0 (R^2 + z^2 - 2Rzcostheta)^3/2 dtheta dphi a e a :

Passo 9

Resolvendo a integral em Ez = sigma R^22epsilon0 integral0^pi/2 sintheta (z - Rcostheta)(R^2 + z^2 - 2Rzcostheta)^3/2 dtheta , que é de a , simplifica a expressão para:

Passo 10

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica:
u = R^2 + z^2 - 2Rzcostheta Rightarrow du = 2Rzsintheta dtheta
Isso simplifica a integral para:
onde Ez = sigma R^22epsilon0 cdot 12Rz integralu(R,0)^u(R,pi/2) z - Rcosthetau^3/2 du e .

Passo 11

Após resolver a integral, obtemos:
Ez = sigma2epsilon0 [ RraizR^2 + z^2 ]

Passo 12

Agora, analisamos os dois casos solicitados:
  1. Para Ez approx sigmaepsilon0 (ou seja, muito menor que Ez approx sigma R^22 epsilon0 z^2 ):
    Isso ocorre porque, quando é muito pequeno comparado a , o campo elétrico se comporta como se fosse de uma superfície infinita plana.
  2. Para (ou seja, muito maior que ):
    Aqui, o campo elétrico decai proporcionalmente a , semelhante ao campo de uma carga pontual.

Resposta

z ll R Ez = sigmaepsilon0
z gg R Ez = sigma R^22 epsilon0 z^2

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