Considere uma casca hemisférica de raio
uniformemente carregada com densidade superficial de carga
. O hemisfério está orientado de modo que seu plano base esteja no plano
com o centro na origem. Determine a expressão para o campo elétrico
em um ponto arbitrário no eixo
distinto da origem e então analise o comportamento do campo elétrico para pontos em que
e
.
Respostas:
Respostas:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática onde temos uma casca hemisférica com raio
e densidade superficial de carga
. Queremos encontrar o campo elétrico
em um ponto qualquer ao longo do eixo
que não esteja na origem. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico devido a distribuições de carga e integrais sobre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga pode ser calculado somando (integrando) os campos elétricos de cada pequeno elemento de carga na superfície. Como a casca é hemisférica e está orientada de modo que sua base está no plano
, podemos aproveitar a simetria para simplificar nossos cálculos.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de área
na superfície da casca. A carga nesse elemento é
, onde
é a densidade superficial de carga. O campo elétrico devido a esse elemento no ponto
no eixo
será
.
Passo 4
Devido à simetria da casca, apenas as componentes do campo elétrico na direção
se somam; as componentes nas direções
e
se cancelam. Portanto, podemos focar apenas na componente
.
Passo 5
Vamos parametrizar a superfície hemisférica usando coordenadas esféricas. Para cada ponto na superfície, temos:
onde
é o ângulo polar e
o ângulo azimutal.
Passo 6
A distância entre o elemento de carga
e o ponto
no eixo
é:
Mas, por simplicidade, podemos expressar o campo diferencial
como:
Passo 7
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 8
Integrando sobre todo o volume da casca hemisférica, os limites de integração são
a
e
a
:
Passo 9
Resolvendo a integral em
, que é de
a
, simplifica a expressão para:
Passo 10
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica:
Isso simplifica a integral para:
onde
e
.
Passo 11
Após resolver a integral, obtemos:
Passo 12
Agora, analisamos os dois casos solicitados:
-
Para
(ou seja, muito menor que ): Isso ocorre porque, quandoé muito pequeno comparado a , o campo elétrico se comporta como se fosse de uma superfície infinita plana. -
Para
(ou seja, muito maior que ): Aqui, o campo elétrico decai proporcionalmente a, semelhante ao campo de uma carga pontual.
Resposta
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