O modelo de J.J.Thomson para o átomo de hidrogênio consiste em uma esfera de raio R com uma distribuição uniforme de carga positiva +e com um elétron -e em seu interior. Mostre que, neste modelo, o elétron no centro dessa esfera se encontra em equilíbrio estável.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem o modelo de J.J. Thomson para o átomo de hidrogênio, que imagina o átomo como uma esfera de raio com carga positiva distribuída uniformemente. Dentro dessa esfera, tem um elétron com carga . A questão quer que a gente mostre que, nesse modelo, se o elétron tá no centro da esfera, ele está em equilíbrio estável. Vamos precisar entender um pouco de eletricidade estática e equilíbrio de forças para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o elétron estar em equilíbrio. Isso quer dizer que a força líquida agindo sobre ele é zero. No centro da esfera, por simetria, todas as forças elétricas das partes da carga positiva se cancelam, então a força resultante sobre o elétron é zero.

Passo 3

Agora, para verificar se esse equilíbrio é estável, precisamos ver o que acontece se a gente desloca o elétron um pouquinho do centro. Se ele volta pra posição central, o equilíbrio é estável. Se ele vai mais pra longe, é instável.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico dentro de uma esfera carregada uniformemente. Pela lei de Gauss, o campo elétrico dentro da esfera, a uma distância E(r) = 14pivarepsilon0 cdot eR^3 cdot r do centro, é dado por:
Isso mostra que o campo elétrico aumenta proporcionalmente com .

Passo 5

Se a gente desloca o elétron para uma distância F = -e cdot E(r) = -e cdot ( 14pivarepsilon0 cdot eR^3 cdot r ) = -e^24pivarepsilon0 R^3 cdot r do centro, ele vai sentir uma força elétrica devido ao campo:
O sinal negativo indica que a força é restauradora, ou seja, aponta na direção oposta ao deslocamento.

Passo 6

A força restauradora é proporcional ao deslocamento , o que caracteriza um movimento harmônico simples. Isso significa que o sistema tende a trazer o elétron de volta ao equilíbrio quando ele é perturbado.

Resposta

Portanto, no modelo de J.J. Thomson, o elétron posicionado no centro da esfera de carga está em equilíbrio estável, já que qualquer pequeno deslocamento resulta em uma força restauradora que o traz de volta ao centro.

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