Utilizando a relação integral para o campo elétrico, determine o campo elétrico em um dado ponto localizado acima de uma barra delgada de comprimento , com densidade linear de carga , e pertencente ao eixo de simetria da barra. Admita a origem do eixo de simetria no ponto de interseção com a barra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo elétrico em um ponto que está acima de uma barra fininha de comprimento . Essa barra tem uma densidade linear de carga , e o ponto está no eixo de simetria da barra, com a origem nesse eixo no ponto onde a barra se encontra. Para isso, vamos usar a relação integral que nos permite calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma distribuição de carga pode ser calculado integrando as contribuições de cada elemento infinitesimal de carga na barra. A fórmula geral é:
Aqui, é um elemento de carga, é a distância do elemento de carga até o ponto , e é o vetor unitário na direção de a partir de .
Passo 3
Vamos parametrizar a barra. Como a barra está no eixo de simetria e a origem está no ponto de interseção com a barra, podemos imaginar que a barra se estende de a no eixo , por exemplo. O ponto está a uma distância acima da origem, no eixo perpendicular.
Então, um elemento de comprimento na barra está localizado em , e a carga desse elemento é .
Passo 4
A distância do elemento de carga até é dada pelo teorema de Pitágoras:
E o vetor unitário na direção de a partir de tem componentes:
Como a barra está no eixo e está ao longo do eixo , a componente do campo elétrico se cancela devido à simetria, restando apenas a componente .
Passo 5
Agora, substituímos e na expressão do campo elétrico:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total , integramos de até :
Passo 7
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou tabelas de integrais. O resultado da integral é: