Utilizando a relação integral para o campo elétrico, determine o campo elétrico E em um dado ponto P localizado acima de uma barra delgada de comprimento ell, com densidade linear de carga lambda, e pertencente ao eixo de simetria da barra. Admita a origem do eixo de simetria no ponto de interseção com a barra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo elétrico E em um ponto P que está acima de uma barra fininha de comprimento ell. Essa barra tem uma densidade linear de carga lambda, e o ponto P está no eixo de simetria da barra, com a origem nesse eixo no ponto onde a barra se encontra. Para isso, vamos usar a relação integral que nos permite calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E devido a uma distribuição de carga pode ser calculado integrando as contribuições de cada elemento infinitesimal de carga na barra. A fórmula geral é:
E = 14pivarepsilon0 integral dqr^2 r
Aqui, dq é um elemento de carga, r é a distância do elemento de carga até o ponto P, e r é o vetor unitário na direção de P a partir de dq.

Passo 3

Vamos parametrizar a barra. Como a barra está no eixo de simetria e a origem está no ponto de interseção com a barra, podemos imaginar que a barra se estende de - ell2 a + ell2 no eixo x, por exemplo. O ponto P está a uma distância y acima da origem, no eixo perpendicular.
Então, um elemento de comprimento dx na barra está localizado em x, e a carga desse elemento é dq = lambda dx.

Passo 4

A distância r do elemento de carga até P é dada pelo teorema de Pitágoras:
r = raizx^2 + y^2
E o vetor unitário na direção de P a partir de dq tem componentes:
r = yr j
Como a barra está no eixo x e P está ao longo do eixo y, a componente x do campo elétrico se cancela devido à simetria, restando apenas a componente y.

Passo 5

Agora, substituímos dq e r na expressão do campo elétrico:
dEy = 14pivarepsilon0 lambda dxx^2 + y^2 cdot yraizx^2 + y^2 = lambda y4pivarepsilon0 dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total Ey, integramos dEy de x = -ell2 até x = ell2:
Ey = lambda y4pivarepsilon0 integral-ell2^ell2 dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 7

Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou tabelas de integrais. O resultado da integral é:
integral dx(x^2 + y^2)^3/2 = xy^2 raizx^2 + y^2
Aplicando os limites:
Ey = lambda y4pivarepsilon0 [ xy^2 raizx^2 + y^2 ]-ell2^ell2

Passo 8

Substituindo os limites na expressão:
Ey = lambda y4pivarepsilon0 y^2 ( ell2raiz(ell2)^2 + y^2 - -ell2raiz(-ell2)^2 + y^2 )
Simplificando:
Ey = lambda4pivarepsilon0 y ( ell/2raiz(ell2)^2 + y^2 + ell/2raiz(ell2)^2 + y^2 )
Ey = lambda ell4pivarepsilon0 y raiz(ell2)^2 + y^2

Resposta

Portanto, o campo elétrico E no ponto P é dado por:
E = lambda ell4pivarepsilon0 y raiz(ell2)^2 + y^2 j

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