Mostre que a equação do gás ideal p V=n R T pode ser escrita nas formas alternativas: (a) p= rho R T / M, sendo rho a densidade de massa do gás e M a massa molar; (b) p V=N kB T, sendo N o número de partículas do gás (átomos ou moléculas).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a equação dos gases ideais, , pode ser reescrita de duas maneiras diferentes:
a) , onde é a densidade de massa do gás e é a massa molar;
b) , onde é o número de partículas do gás (átomos ou moléculas).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de química e física, como densidade, massa molar, número de partículas e as relações entre eles.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos expressar a pressão rho = mV em termos da densidade n = mM , constante dos gases n = rho VM , temperatura e massa molar .
Sabemos que a densidade é definida como a massa dividida pelo volume :
Também, o número de mols é a massa dividida pela massa molar :
Substituindo da primeira equação na segunda:

Passo 3

Agora, vamos substituir esse valor de pV = ( rho VM ) RT na equação dos gases ideais p = rho RTM :
Simplificando os de ambos os lados:
Assim, mostramos a forma alternativa (a).

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Queremos relacionar a pressão n = NNA , volume R = NAkB , número de partículas , constante de Boltzmann e temperatura .
Sabemos que o número de mols está relacionado ao número de partículas pela constante de Avogadro :
Além disso, a constante dos gases está relacionada à constante de Boltzmann pela relação:

Passo 5

Substituindo pV = ( NNA ) RT na equação dos gases ideais pV = ( NNA ) NAkB T :
pV = NkBT
Agora, substituímos por :
Os se cancelam:
E assim, mostramos a forma alternativa (b).

Resposta

Conseguimos reescrever a equação dos gases ideais nas duas formas alternativas solicitadas:
a) ;
b) .

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