Considere D=[cc1 & 4 -1 & -3], A=[ll0 & 1 1 & 0], B[cc1 & 2 0 & -1], C=[ll0 & 1 0 & 1]. Existem números reais alpha, beta, gamma e de tais que alpha A+beta B+gamma C+de ? A solução é única?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro matrizes dadas:
D = 1 & 4 -1 & -3, A = 0 & 1 1 & 0, B = 1 & 2 0 & -1, C = 0 & 1 0 & 1
Queremos descobrir se existem números reais alpha A + beta B + gamma C + de tais que:
Além disso, precisamos verificar se essa solução é única. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinação linear e sistema de equações lineares.

Passo 2

Vamos escrever a equação matricial alpha 0 & 1 1 & 0 + beta 1 & 2 0 & -1 + gamma 0 & 1 0 & 1 + de de forma mais detalhada. Isso significa que cada entrada da matriz resultante deve ser igual a zero. Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes e somar:

Passo 3

Vamos somar as matrizes de forma componente a componente:
0alpha + 1beta + 0gamma + 1de
Isso nos dá um sistema de quatro equações:
  1. (posição (1,1))
  2. (posição (1,2))
  3. (posição (2,1))
  4. (posição (2,2))

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela terceira equação:
alpha - de
Substituindo beta + de na primeira equação:

Passo 5

Substituindo de e de na segunda equação:
(1 - 2 + 4)de
3de

Passo 6

Agora, substituímos -(-de e de na quarta equação:
-5de

Passo 7

Com alpha = de, voltamos para as equações anteriores:
beta = -de
gamma = -3de

Resposta

Sim, existem números reais que satisfazem , sendo que a única solução é .

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