Considere . Existem números reais e tais que ? A solução é única?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro matrizes dadas:
Queremos descobrir se existem números reais tais que:
Além disso, precisamos verificar se essa solução é única. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinação linear e sistema de equações lineares.
Passo 2
Vamos escrever a equação matricial de forma mais detalhada. Isso significa que cada entrada da matriz resultante deve ser igual a zero. Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes e somar:
Passo 3
Vamos somar as matrizes de forma componente a componente:
Isso nos dá um sistema de quatro equações:
(posição (1,1))
(posição (1,2))
(posição (2,1))
(posição (2,2))
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 5
Substituindo e na segunda equação:
Passo 6
Agora, substituímos e na quarta equação:
Passo 7
Com , voltamos para as equações anteriores:
Resposta
Sim, existem números reais que satisfazem , sendo que a única solução é .