Considere A=[ccc1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1]. Existe A^-1 ? Justifique sua resposta. Em caso afirmativo, determine A^-1.

Passo 1

Estamos analisando a matriz 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 para verificar se ela possui inversa, ou seja, . Para isso, vamos utilizar conceitos de determinante e matriz inversa da Álgebra Linear. Precisamos calcular o determinante de para verificar se ele é diferente de zero. Se o determinante for não nulo, a matriz é invertível e podemos proceder para encontrar a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a11 (a22a33 - a23a32) - a12 (a21a33 - a23a31) + a13 (a21a32 - a22a31) . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 times ((-1) times 1 - 0 times 0) - 0 times (1 times 1 - 0 times 1) + 0 times (1 times 0 - (-1) times 1)
Substituindo os valores de det(A) = 1 times (-1) - 0 + 0 = -1 :
Simplificando:

Passo 3

Como o determinante de é , que é diferente de zero ( ), podemos concluir que a matriz é invertível. Agora, vamos encontrar a matriz inversa .

Passo 4

Uma maneira de encontrar a inversa de uma matriz 3x3 é utilizar a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante. A fórmula é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Primeiro, precisamos encontrar a matriz adjunta C11 = (-1)^1+1 times -1 & 0 0 & 1 = 1 times (-1 times 1 - 0 times 0) = -1 , que é a transposta da matriz dos cofatores de C12 = (-1)^1+2 times 1 & 0 1 & 1 = -1 times (1 times 1 - 0 times 1) = -1 .
Vamos calcular os cofatores de cada elemento de C13 = (-1)^1+3 times 1 & -1 1 & 0 = 1 times (1 times 0 - (-1) times 1) = 1 :
C21 = (-1)^2+1 times 0 & 0 0 & 1 = -1 times (0 times 1 - 0 times 0) = 0
C22 = (-1)^2+2 times 1 & 0 1 & 1 = 1 times (1 times 1 - 0 times 1) = 1
C23 = (-1)^2+3 times 1 & 0 1 & 0 = -1 times (1 times 0 - 0 times 1) = 0
C31 = (-1)^3+1 times 0 & 0 -1 & 0 = 1 times (0 times 0 - 0 times (-1)) = 0
C32 = (-1)^3+2 times 1 & 0 1 & 0 = -1 times (1 times 0 - 0 times 1) = 0
C33 = (-1)^3+3 times 1 & 0 1 & -1 = 1 times (1 times (-1) - 0 times 1) = -1
C = -1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
adj(A) = C^T = -1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1
Assim, a matriz dos cofatores é:
Agora, a adjunta é a transposta de :

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-1 cdot -1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1

Resposta

Sim, a matriz inversa de A^-1 = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 é:

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