Considere o sistema de equações lineares abaixo:
clc x+3 y+4 z & = & -5 3 x+2 y+z & =8 2 x+4 y+3 z & =4
Resolva-o:
Usando operações elementares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando operações elementares. Então, estamos trabalhando com álgebra linear e vamos precisar manipular as equações para encontrar os valores de , e . Vamos transformar o sistema em uma forma mais fácil de resolver usando operações como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar ou subtrair linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x + 3y + 4z = -5 3x + 2y + z = 8 2x + 4y + 3z = 4

Passo 3

A ideia é eliminar uma das variáveis de duas das equações para facilitar. Vamos começar eliminando 3x + 9y + 12z = -15 .
Para fazer isso, podemos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda equação por -1 para que, ao somarmos, o -3x - 2y - z = -8 seja eliminado:
Multiplicando a primeira equação por 3:
(3x - 3x) + (9y - 2y) + (12z - z) = -15 - 8
Multiplicando a segunda equação por -1:
0x + 7y + 11z = -23
Agora, somamos essas duas equações:
7y + 11z = -23 (Equação 4)
Então, obtemos a equação:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar 2x + 6y + 8z = -10 novamente, mas usando a primeira e a terceira equação.
Multiplicamos a primeira equação por 2 e a terceira equação por -1:
Multiplicando a primeira equação por 2:
-2x - 4y - 3z = -4
Multiplicando a terceira equação por -1:
(2x - 2x) + (6y - 4y) + (8z - 3z) = -10 - 4
Somando essas duas equações:
0x + 2y + 5z = -14
2y + 5z = -14 (Equação 5)
Assim, temos a equação:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
7y + 11z = -23 (Equação 4) 2y + 5z = -14 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar -14y - 35z = 98 e 14y + 22z = -46 . Vamos eliminar uma variável, por exemplo, (-14y + 14y) + (-35z + 22z) = 98 - 46 .
Podemos multiplicar a Equação 5 por -7 e a Equação 4 por 2:
Multiplicando a Equação 5 por -7:
0y - 13z = 52
Multiplicando a Equação 4 por 2:
-13z = 52 implies z = -4
Somando essas duas equações:
Portanto:

Passo 6

Com 2y + 5(-4) = -14 , vamos substituir esse valor na Equação 5 para encontrar 2y - 20 = -14 :
2y = 6 implies y = 3

Passo 7

Agora que temos x + 3(3) + 4(-4) = -5 e x + 9 - 16 = -5 , vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar x - 7 = -5 :
x = 2

Resposta

A solução do sistema é:
x = 2, y = 3, z = -4

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