Suponha que v1, v2 e v3 sejam vetores em R^3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os três vetores estão num mesmo plano.
(b) v1=(-6,7,2), v2=(3,2,4), v3=(4,-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional e precisa descobrir se eles estão todos no mesmo plano. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados à coplanaridade de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quando três vetores estão no mesmo plano. Três vetores são coplanares se o volume do paralelepípedo formado por eles for zero. Esse volume pode ser calculado usando o produto misto, que envolve o produto escalar e o produto vetorial.

Passo 3

O produto misto de três vetores v1 cdot (v2 times v3) , e é dado por:
Se esse valor for zero, os vetores são coplanares.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial v2 = (3, 2, 4) v3 = (4, -1, 2) :
v2 times v3 = i & j & k 3 & 2 & 4 4 & -1 & 2
i(2 cdot 2 - 4 cdot (-1)) - j(3 cdot 2 - 4 cdot 4) + k(3 cdot (-1) - 2 cdot 4) = i(4 + 4) - j(6 - 16) + k(-3 - 8) = 8i + 10j - 11k
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar v1 = (-6, 7, 2) v1 cdot (8, 10, -11) = (-6)(8) + (7)(10) + (2)(-11) = -48 + 70 - 22 = 0 :
Como o resultado é zero, os três vetores são coplanares.

Resposta

Os vetores , e estão no mesmo plano.

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