Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por omega(x)= A e^-x^2 / 2 L^2 e uma energia dada por hbar^2 / 2 m L^2, em que L é um comprimento.
a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de V em função de x. b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função de onda para uma partícula e uma expressão para a energia dela. Precisamos descobrir a energia potencial $ V(x) $ em função de $ x $ e depois identificar que tipo de potencial clássico isso representa.
Matéria envolvida: Mecânica Quântica, especificamente a Equação de Schrödinger Dependente do Tempo-Independent.
O que vamos precisar:
  • A função de onda $ \omega(x) $.
  • A expressão para a energia $ E $.
  • A Equação de Schrödinger para relacionar essas quantidades e encontrar $ V(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Schrödinger Independente do Tempo para uma dimensão:
- hbar^22m d^2 omega(x)dx^2 + V(x) omega(x) = E omega(x)
Aqui:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
  • $ m $ é a massa da partícula.
  • $ \omega(x) $ é a função de onda.
  • $ V(x) $ é a energia potencial.
  • $ E $ é a energia total da partícula.
Nosso objetivo é isolar $ V(x) $.

Passo 3

Vamos reorganizar a Equação de Schrödinger para resolver $ V(x) $:
V(x)
Ou seja, a energia potencial $ V(x) $ é igual à energia total $ E $ mais um termo que envolve a segunda derivada da função de onda.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a segunda derivada da função de onda $ \omega(x) = A e{-x2 / (2 L^2)} $.
Primeiro, vamos derivar uma vez:
omega(x) = A e^-x^2 / (2 L^2)
Agora, a segunda derivada:
d omega(x)dx = A cdot ddx ( e^-x^2 / (2 L^2) ) = A cdot ( -xL^2 ) e^-x^2 / (2 L^2) = -A xL^2 e^-x^2 / (2 L^2)

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na expressão para $ V(x) $:
V(x)
Simplificando:
V(x) = E + hbar^22m cdot 1A e^-x^2 / (2 L^2) cdot AL^2 ( x^2L^2 - 1 ) e^-x^2 / (2 L^2) = E + hbar^22m L^2 ( x^2L^2 - 1 )

Passo 6

Sabemos que a energia dada no enunciado é $ E = \frac{\hbar^2}{2m L^2} $. Substituindo na expressão de $ V(x) $:
E = hbar^22m L^2
Então, a energia potencial em função de $ x $ é:
V(x)

Resposta

a) A energia potencial em função de $ x $ é $ V(x) = \frac{\hbar^2}{2m L^4} x^2 $. O gráfico de $ V $ versus $ x $ é uma parábola que passa pela origem, abrindo para cima.
b) Esse potencial clássico é conhecido como Potencial Harmônico ou Oscilador Harmônico, que descreve sistemas como massas em molas e moléculas vibrando.

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