Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento.
a) Determine a energia potencial em função de
e faça um gráfico de
em função de x. b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?
a) Determine a energia potencial em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função de onda para uma partícula e uma expressão para a energia dela. Precisamos descobrir a energia potencial $ V(x) $ em função de $ x $ e depois identificar que tipo de potencial clássico isso representa.
Matéria envolvida: Mecânica Quântica, especificamente a Equação de Schrödinger Dependente do Tempo-Independent.
O que vamos precisar:
- A função de onda $ \omega(x) $.
- A expressão para a energia $ E $.
- A Equação de Schrödinger para relacionar essas quantidades e encontrar $ V(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação de Schrödinger Independente do Tempo para uma dimensão:
Aqui:
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
- $ m $ é a massa da partícula.
- $ \omega(x) $ é a função de onda.
- $ V(x) $ é a energia potencial.
- $ E $ é a energia total da partícula.
Nosso objetivo é isolar $ V(x) $.
Passo 3
Vamos reorganizar a Equação de Schrödinger para resolver $ V(x) $:
Ou seja, a energia potencial $ V(x) $ é igual à energia total $ E $ mais um termo que envolve a segunda derivada da função de onda.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a segunda derivada da função de onda $ \omega(x) = A e{-x2 / (2 L^2)} $.
Primeiro, vamos derivar uma vez:
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo a segunda derivada na expressão para $ V(x) $:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que a energia dada no enunciado é $ E = \frac{\hbar^2}{2m L^2} $. Substituindo na expressão de $ V(x) $:
Então, a energia potencial em função de $ x $ é:
Resposta
a) A energia potencial em função de $ x $ é $ V(x) = \frac{\hbar^2}{2m L^4} x^2 $. O gráfico de $ V $ versus $ x $ é uma parábola que passa pela origem, abrindo para cima.
b) Esse potencial clássico é conhecido como Potencial Harmônico ou Oscilador Harmônico, que descreve sistemas como massas em molas e moléculas vibrando.
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e
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