Considere uma ciclóide gerada por um cículo de raio e determine a sua evoluta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente considerar uma ciclóide gerada por um círculo de raio e determinar a sua evoluta. Isso está dentro da geometria analítica, mais especificamente no estudo de curvas e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma ciclóide e o que é uma evoluta, além de conhecer um pouco sobre derivadas para encontrar a curva evoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma ciclóide. Uma ciclóide é a trajetória de um ponto fixo na borda de um círculo que rola sem deslizar sobre uma linha reta. Imagine uma roda passando por uma rampa sem escorregar; o ponto na borda da roda traça uma ciclóide.
Passo 3
Agora, para descrever a ciclóide matematicamente, usamos os chamados parâmetros paramétricos. Se considerarmos que o círculo tem raio e que está rolando ao longo do eixo , as equações paramétricas da ciclóide são:
Aqui, é o parâmetro que representa o ângulo de rotação do círculo.
Passo 4
A próxima etapa é encontrar a evoluta da cicl��ide. A evoluta de uma curva é o conjunto de todos os centros de curvatura dessa curva original. Para encontrar isso, precisamos primeiro calcular a derivada das funções paramétricas para obter e depois encontrar as equações das normais à curva.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas das funções paramétricas em relação a :
Passo 6
Agora, calculamos usando a regra da cadeia:
Passo 7
Simplificamos usando a identidade trigonométrica:
Isso nos dá a inclinação da tangente à ciclóide em cada ponto .
Passo 8
A normal à curva será perpendicular à tangente. Portanto, a inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Passo 9
Para encontrar a evoluta, usamos as fórmulas:
onde .
Passo 10
Substituindo nas fórmulas acima, temos:
Simplificando as expressões usando identidades trigonométricas:
Passo 11
Portanto, as equações da evoluta ficam:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A evoluta da ciclóide gerada por um círculo de raio é dada pelas equações paramétricas: