Considere uma ciclóide gerada por um cículo de raio e determine a sua evoluta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente considerar uma ciclóide gerada por um círculo de raio e determinar a sua evoluta. Isso está dentro da geometria analítica, mais especificamente no estudo de curvas e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma ciclóide e o que é uma evoluta, além de conhecer um pouco sobre derivadas para encontrar a curva evoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma ciclóide. Uma ciclóide é a trajetória de um ponto fixo na borda de um círculo que rola sem deslizar sobre uma linha reta. Imagine uma roda passando por uma rampa sem escorregar; o ponto na borda da roda traça uma ciclóide.

Passo 3

Agora, para descrever a ciclóide matematicamente, usamos os chamados parâmetros paramétricos. Se considerarmos que o círculo tem raio e que está rolando ao longo do eixo , as equações paramétricas da ciclóide são:
Aqui, é o parâmetro que representa o ângulo de rotação do círculo.

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a evoluta da cicl��ide. A evoluta de uma curva é o conjunto de todos os centros de curvatura dessa curva original. Para encontrar isso, precisamos primeiro calcular a derivada das funções paramétricas para obter e depois encontrar as equações das normais à curva.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas das funções paramétricas em relação a :

Passo 6

Agora, calculamos usando a regra da cadeia:

Passo 7

Simplificamos usando a identidade trigonométrica:
Isso nos dá a inclinação da tangente à ciclóide em cada ponto .

Passo 8

A normal à curva será perpendicular à tangente. Portanto, a inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:

Passo 9

Para encontrar a evoluta, usamos as fórmulas:
onde .

Passo 10

Substituindo nas fórmulas acima, temos:
Simplificando as expressões usando identidades trigonométricas:

Passo 11

Portanto, as equações da evoluta ficam:
Simplificando ainda mais:

Resposta

A evoluta da ciclóide gerada por um círculo de raio é dada pelas equações paramétricas:

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