Considere um cilindro circular reto com água até certo nível mas não cheio. O cilindro começa a girar com velocidade angular constante . Supondo que a água não derrama e sob condições padrão, determine, utilizando equações diferenciais, a seção transversal da superfície que a água forma, no momento de girar, com um plano paralelo ao eixo de simetria do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um cilindro reto cheio de água até certo nível, e esse cilindro começa a girar com uma velocidade angular constante . Queremos descobrir como a superfície da água se comporta quando o cilindro está girando. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de fluidos em rotação e equações diferenciais. Precisaremos entender como as forças atuam na água quando o cilindro gira e como isso influencia a forma da superfície da água.

Passo 2

Quando o cilindro gira, a água dentro dele também começa a girar devido à viscosidade. Isso faz com que a água experimente uma força centrífuga para fora. Ao mesmo tempo, a força da gravidade age para baixo. O equilíbrio entre essas duas forças determina a forma da superfície da água. Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve essa superfície.

Passo 3

Vamos escolher um sistema de coordenadas cilíndricas , onde é a distância radial do eixo de rotação, é o ângulo e é a altura. A superfície da água será uma função de , ou seja, . Precisamos relacionar a mudan��a na altura com a posição radial considerando as forças atuantes.

Passo 4

Para encontrar essa relação, vamos usar a condição de equilíbrio das forças. A pressão dentro do fluido em equilíbrio deve considerar tanto a pressão devido à gravidade quanto a pressão devido à força centrífuga. A variação da pressão na direção radial pode ser expressa como:
E na direção vertical:
Onde é a densidade da água e é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Como a pressão é contínua na superfície da água, podemos relacionar as duas expressões derivando uma em relação a . Usando a relação das derivadas, obtemos:
Essa é a equação diferencial que descreve a inclinação da superfície da água em função da posição radial .

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar . Integramos ambos os lados em relação a :
Integrando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para determinar a constante , consideramos que no centro do cilindro ( ), a altura da água é máxima e igual a . Substituindo na equação:

Resposta

A seção transversal da superfície da água é descrita por uma parábola cuja equação é:
Onde:
  • é a altura da água em função da distância radial ,
  • é a velocidade angular constante,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura inicial da água no centro do cilindro.

Exercícios relacionados

Determine a derivada de , utilizando a o)
Faça os gráficos das funções abaixo.
Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Faça os gráficos das funções abaixo.