Considere um cilindro circular reto com água até certo nível mas não cheio. O cilindro começa a girar com velocidade angular constante
. Supondo que a água não derrama e sob condições padrão, determine, utilizando equações diferenciais, a seção transversal da superfície que a água forma, no momento de girar, com um plano paralelo ao eixo de simetria do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um cilindro reto cheio de água até certo nível, e esse cilindro começa a girar com uma velocidade angular constante
. Queremos descobrir como a superfície da água se comporta quando o cilindro está girando. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de fluidos em rotação e equações diferenciais. Precisaremos entender como as forças atuam na água quando o cilindro gira e como isso influencia a forma da superfície da água.
Passo 2
Quando o cilindro gira, a água dentro dele também começa a girar devido à viscosidade. Isso faz com que a água experimente uma força centrífuga para fora. Ao mesmo tempo, a força da gravidade age para baixo. O equilíbrio entre essas duas forças determina a forma da superfície da água. Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve essa superfície.
Passo 3
Vamos escolher um sistema de coordenadas cilíndricas
, onde
é a distância radial do eixo de rotação,
é o ângulo e
é a altura. A superfície da água será uma função de
, ou seja,
. Precisamos relacionar a mudan��a na altura
com a posição radial
considerando as forças atuantes.
Passo 4
Para encontrar essa relação, vamos usar a condição de equilíbrio das forças. A pressão dentro do fluido em equilíbrio deve considerar tanto a pressão devido à gravidade quanto a pressão devido à força centrífuga. A variação da pressão na direção radial pode ser expressa como:
E na direção vertical:
Onde
é a densidade da água e
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Como a pressão é contínua na superfície da água, podemos relacionar as duas expressões derivando uma em relação a
. Usando a relação das derivadas, obtemos:
Essa é a equação diferencial que descreve a inclinação da superfície da água em função da posição radial
.
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Integramos ambos os lados em relação a
:
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para determinar a constante
, consideramos que no centro do cilindro (
), a altura da água é máxima e igual a
. Substituindo
na equação:
Resposta
A seção transversal da superfície da água é descrita por uma parábola cuja equação é:
Onde:
-
é a altura da água em função da distância radial , -
é a velocidade angular constante, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura inicial da água no centro do cilindro.
Exercícios relacionados
Determine a derivada de
, utilizando a o)
Faça os gráficos das funções abaixo.
Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Faça os gráficos das funções abaixo.