Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
.
O que estamos fazendo?
Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que envolve derivadas de em relação a
. Para resolver, vamos usar substituição para simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver.
Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que envolve derivadas de
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Passo 3
Calculando
:
Explicação:
Usamos a regra do produto para derivar . A derivada de
é
(derivada de
é 1) mais
(derivada de
é
).
Usamos a regra do produto para derivar
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos cancelar o termo
dos dois lados:
O que temos agora?
Uma equação mais simples: . Essa equação é separável, o que significa que podemos separar
e
em lados diferentes da equação para integrar.
Uma equação mais simples:
Passo 6
Separando as variáveis:
Explicação:
Reorganizamos a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro lado.
Reorganizamos a equação para que todos os termos com
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde:
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Considere um cilindro circular reto com água até certo nível mas não cheio. O cilindro começa a girar com velocidade angular constante
. Supondo que a água não derrama e sob condições padrão, determine, utilizando equações diferenciais, a seção transversal da superfície que a água forma, no momento de girar, com um plano paralelo ao eixo de simetria do cilindro.
Determine a derivada de
, utilizando a o)
Faça os gráficos das funções abaixo.
Faça os gráficos das funções abaixo.