Resolva cada uma dos PVIs seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial .
O que estamos fazendo?
Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que envolve derivadas de em relação a . Para resolver, vamos usar substituição para simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e .

Passo 3

Calculando :
Explicação:
Usamos a regra do produto para derivar . A derivada de é (derivada de é 1) mais (derivada de é ).

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos cancelar o termo dos dois lados:
O que temos agora?
Uma equação mais simples: . Essa equação é separável, o que significa que podemos separar e em lados diferentes da equação para integrar.

Passo 6

Separando as variáveis:
Explicação:
Reorganizamos a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro lado.

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde:
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que , então:

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere um cilindro circular reto com água até certo nível mas não cheio. O cilindro começa a girar com velocidade angular constante . Supondo que a água não derrama e sob condições padrão, determine, utilizando equações diferenciais, a seção transversal da superfície que a água forma, no momento de girar, com um plano paralelo ao eixo de simetria do cilindro.
Determine a derivada de , utilizando a o)
Faça os gráficos das funções abaixo.
Faça os gráficos das funções abaixo.