Faça os gráficos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes. Isso significa que a regra para calcular
muda dependendo do valor de
. O objetivo é fazer os gráficos dessas duas partes e ver como elas se juntam no gráfico final. Para isso, vamos precisar entender como desenhar funções quadráticas e como lidar com as diferentes condições para
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função:
quando
. Essa é uma função quadrática padrão, mas com um sinal negativo na frente de
, o que significa que o gráfico será uma parábola voltada para baixo. O termo constante
nos diz que o vértice da parábola está deslocado para cima no eixo
.
Passo 3
Para desenhar essa parábola, precisamos encontrar o vértice. O vértice de uma função quadrática
está em
. No nosso caso,
e
, então:
Substituindo
na função:
Então, o vértice está em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda parte da função:
quando
. Essa também é uma função quadrática, mas desta vez com
, então a parábola está voltada para cima. Não há termo constante, então o vértice vai ser deslocado para a esquerda e para baixo no eixo
.
Passo 5
Vamos encontrar o vértice dessa parábola. Usando a mesma fórmula:
Substituindo
na função:
Então, o vértice está em
. Porém, lembre-se que essa parte da função é válida apenas para
, então precisamos ver o que acontece a partir de
.
Passo 6
Vamos verificar o valor da segunda função em
para garantir que o gráfico fique certinho nessa junção:
Agora, observamos que para
, a primeira função também vale:
Isso mostra que as duas partes se encontram no ponto
, garantindo que o gráfico seja contínuo nesse ponto.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Para
: Desenhamos a parábola com vértice em , voltada para baixo, passando pelo ponto . - Para
: Desenhamos a parábola começando em , voltada para cima.
Resposta
O gráfico da função
é composto por duas parábolas: uma voltada para baixo que passa pelo vértice
para
e outra voltada para cima começando em
para
, formando um gráfico contínuo onde as duas partes se encontram em
.