Faça os gráficos das funções abaixo.
F(x) = { 4 - x^2, se x <= 1; x^2 + 2x, se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes. Isso significa que a regra para calcular muda dependendo do valor de . O objetivo é fazer os gráficos dessas duas partes e ver como elas se juntam no gráfico final. Para isso, vamos precisar entender como desenhar funções quadráticas e como lidar com as diferentes condições para .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função: quando . Essa é uma função quadrática padrão, mas com um sinal negativo na frente de , o que significa que o gráfico será uma parábola voltada para baixo. O termo constante nos diz que o vértice da parábola está deslocado para cima no eixo .

Passo 3

Para desenhar essa parábola, precisamos encontrar o vértice. O vértice de uma função quadrática está em . No nosso caso, e , então:
Substituindo na função:
Então, o vértice está em .

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: quando . Essa também é uma função quadrática, mas desta vez com , então a parábola está voltada para cima. Não há termo constante, então o vértice vai ser deslocado para a esquerda e para baixo no eixo .

Passo 5

Vamos encontrar o vértice dessa parábola. Usando a mesma fórmula:
Substituindo na função:
Então, o vértice está em . Porém, lembre-se que essa parte da função é válida apenas para , então precisamos ver o que acontece a partir de .

Passo 6

Vamos verificar o valor da segunda função em para garantir que o gráfico fique certinho nessa junção:
Agora, observamos que para , a primeira função também vale:
Isso mostra que as duas partes se encontram no ponto , garantindo que o gráfico seja contínuo nesse ponto.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Para : Desenhamos a parábola com vértice em , voltada para baixo, passando pelo ponto .
  2. Para : Desenhamos a parábola começando em , voltada para cima.

Resposta

O gráfico da função é composto por duas parábolas: uma voltada para baixo que passa pelo vértice para e outra voltada para cima começando em para , formando um gráfico contínuo onde as duas partes se encontram em .

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