Determine a derivada de , utilizando a o)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a regra do produto, já que temos o produto de duas funções: e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No caso, queremos saber como muda quando muda.

Passo 3

Agora, como nossa função é o produto de duas funções, e , precisamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto diz que se você tem uma função multiplicada por outra função , a derivada dessa multiplicação é:
Ou seja, a derivada do primeiro fator vezes o segundo mais o primeiro fator vezes a derivada do segundo.

Passo 4

Vamos identificar nossas funções:
Agora, vamos calcular as derivadas de cada uma delas.

Passo 5

A derivada de é simples:

Passo 6

Agora, vamos derivar . Aqui, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é . Então:

Passo 7

Agora que temos e , aplicamos a regra do produto:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Faça os gráficos das funções abaixo.
Encontre o domínio e a imagem de:
Considere um cilindro circular reto com água até certo nível mas não cheio. O cilindro começa a girar com velocidade angular constante . Supondo que a água não derrama e sob condições padrão, determine, utilizando equações diferenciais, a seção transversal da superfície que a água forma, no momento de girar, com um plano paralelo ao eixo de simetria do cilindro.
Resolva cada uma dos PVIs seguintes: