Considere um condutor cilíndrico muito longo de raio
que conduz uma corrente elétrica
. Determine o módulo do campo magnético
para distâncias radiais
(dentro) e
(fora) medidas a partir do eixo do cilindro para uma densidade de corrente
: (a)
; (b)
;
Passo 1
Beleza, então o enunciado fala sobre um condutor cilíndrico muito longo com raio
que transporta uma corrente elétrica
. A gente precisa encontrar o módulo do campo magnético
para duas situações: quando a distância radial
é menor que
(dentro do cilindro) e quando
é maior que
(fora do cilindro). Vamos usar a densidade de corrente
que varia conforme o caso (a) e (b) para resolver isso. Para isso, vamos aplicar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma circunferência imaginária ao redor do condutor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ampère, que é dada por:
Aqui,
é a circulação do campo magnético ao redor de um caminho fechado,
é a permeabilidade do vácuo, e
é a corrente total que passa através do caminho fechado.
Passo 3
Vamos usar a simetria do problema. Como o condutor é muito longo e cilíndrico, o campo magnético
vai circular em torno do eixo do cilindro e depender apenas da distância
do eixo. Então, a circulação fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, a corrente que passa dentro do raio
. Isso depende da densidade de corrente
.
Parte (a):
Passo 5
Para
, a corrente encerrada
é a integral da densidade de corrente sobre a área interna:
Passo 6
Aplicando a Lei de Ampère:
Passo 7
Para
, toda a corrente
está dentro do caminho de Ampère, então
. Aplicando a Lei de Ampère:
Parte (b):
Passo 8
Para
, a corrente encerrada
é:
Simplificando:
Passo 9
Aplicando a Lei de Ampère:
Passo 10
Para
, a corrente total
. Aplicando a Lei de Ampère:
Resposta
Parte (a):
Parte (b):