Considere um condutor cilíndrico muito longo de raio R que conduz uma corrente elétrica i. Determine o módulo do campo magnético B(r) para distâncias radiais r (dentro) e r>R (fora) medidas a partir do eixo do cilindro para uma densidade de corrente J: (a) J=(3 i / 2 pi R^3) r; (b) J=(2 i / pi R^2)[1-(r / R)^2];

Passo 1

Beleza, então o enunciado fala sobre um condutor cilíndrico muito longo com raio que transporta uma corrente elétrica . A gente precisa encontrar o módulo do campo magnético para duas situações: quando a distância radial é menor que (dentro do cilindro) e quando é maior que (fora do cilindro). Vamos usar a densidade de corrente que varia conforme o caso (a) e (b) para resolver isso. Para isso, vamos aplicar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma circunferência imaginária ao redor do condutor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ampère, que é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, é a circulação do campo magnético ao redor de um caminho fechado, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente total que passa através do caminho fechado.

Passo 3

Vamos usar a simetria do problema. Como o condutor é muito longo e cilíndrico, o campo magnético oint B cdot dl = B(r) cdot 2pi r vai circular em torno do eixo do cilindro e depender apenas da distância do eixo. Então, a circulação fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular , a corrente que passa dentro do raio . Isso depende da densidade de corrente .

Parte (a):

Passo 5

Para Ienc = integral0^r J cdot 2pi r' dr' = integral0^r ( 3i2pi R^3 ) r' cdot 2pi r' dr' = 3iR^3 integral0^r r'^2 dr' , a corrente encerrada Ienc = 3iR^3 cdot [ r'^33 ]0^r = 3iR^3 cdot r^33 = i r^3R^3 é a integral da densidade de corrente sobre a área interna:

Passo 6

Aplicando a Lei de Ampère:
B(r) cdot 2pi r = mu0 cdot i r^3R^3
B(r) = mu0 i r^22pi R^3

Passo 7

Para B(r) cdot 2pi r = mu0 i , toda a corrente B(r) = mu0 i2pi r está dentro do caminho de Ampère, então . Aplicando a Lei de Ampère:

Parte (b):

Passo 8

Para Ienc = integral0^r J cdot 2pi r' dr' = integral0^r ( 2ipi R^2 ) [ 1 - ( r'R )^2 ] cdot 2pi r' dr' , a corrente encerrada Ienc = 4iR^2 integral0^r ( r' - r'^3R^2 ) dr' = 4iR^2 [ r'^22 - r'^44R^2 ]0^r é:
Ienc = 4iR^2 ( r^22 - r^44R^2 ) = 2i r^2R^2 - i r^4R^4
Simplificando:

Passo 9

Aplicando a Lei de Ampère:
B(r) cdot 2pi r = mu0 ( 2i r^2R^2 - i r^4R^4 )
B(r) = mu02pi r ( 2i r^2R^2 - i r^4R^4 ) = mu0 ipi R^2 ( r - r^32R^2 )

Passo 10

Para B(r) cdot 2pi r = mu0 i , a corrente total B(r) = mu0 i2pi r . Aplicando a Lei de Ampère:

Resposta

Parte (a):
B(r) = mu0 i r^22pi R^3 & para r < R mu0 i2pi r & para r > R
Parte (b):
B(r) = mu0 ipi R^2 ( r - r^32R^2 ) & para r < R mu0 i2pi r & para r > R

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