Considere um condutor cilíndrico muito longo de raio que conduz uma corrente elétrica . Determine o módulo do campo magnético para distâncias radiais (dentro) e (fora) medidas a partir do eixo do cilindro para uma densidade de corrente : (a) ; (b) ;

Passo 1

Beleza, então o enunciado fala sobre um condutor cilíndrico muito longo com raio que transporta uma corrente elétrica . A gente precisa encontrar o módulo do campo magnético para duas situações: quando a distância radial é menor que (dentro do cilindro) e quando é maior que (fora do cilindro). Vamos usar a densidade de corrente que varia conforme o caso (a) e (b) para resolver isso. Para isso, vamos aplicar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma circunferência imaginária ao redor do condutor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ampère, que é dada por:
Aqui, é a circulação do campo magnético ao redor de um caminho fechado, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente total que passa através do caminho fechado.

Passo 3

Vamos usar a simetria do problema. Como o condutor é muito longo e cilíndrico, o campo magnético vai circular em torno do eixo do cilindro e depender apenas da distância do eixo. Então, a circulação fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular , a corrente que passa dentro do raio . Isso depende da densidade de corrente .

Parte (a):

Passo 5

Para , a corrente encerrada é a integral da densidade de corrente sobre a área interna:

Passo 6

Aplicando a Lei de Ampère:

Passo 7

Para , toda a corrente está dentro do caminho de Ampère, então . Aplicando a Lei de Ampère:

Parte (b):

Passo 8

Para , a corrente encerrada é:
Simplificando:

Passo 9

Aplicando a Lei de Ampère:

Passo 10

Para , a corrente total . Aplicando a Lei de Ampère:

Resposta

Parte (a):
Parte (b):

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