Considere um condutor cilíndrico muito longo de raio que conduz uma corrente elétrica . Determine o módulo do campo magnético para distâncias radiais (dentro) e (fora) medidas a partir do eixo do cilindro para uma densidade de corrente : (a) ; (b) ;
Passo 1
Beleza, então o enunciado fala sobre um condutor cilíndrico muito longo com raio que transporta uma corrente elétrica . A gente precisa encontrar o módulo do campo magnético para duas situações: quando a distância radial é menor que (dentro do cilindro) e quando é maior que (fora do cilindro). Vamos usar a densidade de corrente que varia conforme o caso (a) e (b) para resolver isso. Para isso, vamos aplicar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma circunferência imaginária ao redor do condutor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ampère, que é dada por:
Aqui, é a circulação do campo magnético ao redor de um caminho fechado, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente total que passa através do caminho fechado.
Passo 3
Vamos usar a simetria do problema. Como o condutor é muito longo e cilíndrico, o campo magnético vai circular em torno do eixo do cilindro e depender apenas da distância do eixo. Então, a circulação fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular , a corrente que passa dentro do raio . Isso depende da densidade de corrente .
Parte (a):
Passo 5
Para , a corrente encerrada é a integral da densidade de corrente sobre a área interna:
Passo 6
Aplicando a Lei de Ampère:
Passo 7
Para , toda a corrente está dentro do caminho de Ampère, então . Aplicando a Lei de Ampère:
Parte (b):
Passo 8
Para , a corrente encerrada é:
Simplificando:
Passo 9
Aplicando a Lei de Ampère:
Passo 10
Para , a corrente total . Aplicando a Lei de Ampère: