Um disco de raio
tem densidade superficial uniforme
. Mostre que, a grandes distâncias ao longo do eixo de simetria, o campo elétrico do disco comporta-se aproximadamente como de uma partícula carregada puntual.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos um disco com raio
e densidade superficial uniforme
. Queremos mostrar que, quando estamos a uma distância muito grande ao longo do eixo de simetria desse disco, o campo elétrico que ele gera se comporta como o campo elétrico de uma carga pontual. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga e como simplificar expressões quando estamos em grandes distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
devido a uma distribuição de carga pode ser calculado integrando as contribuições de todas as partes da carga. No caso de um disco com densidade superficial
, cada elemento de área
no disco tem uma carga
.
Passo 3
Para facilitar a integração, é útil considerar o disco como uma série de anéis concêntricos de raio
e espessura
. A carga em cada anel é
. O campo elétrico gerado por um anel no eixo de simetria está apenas na direção do eixo, já que as componentes radiais se cancelam.
Passo 4
A expressão para o campo elétrico
no eixo devido a um anel é dada por:
onde
é a distância ao longo do eixo. Substituindo
:
Passo 5
Para encontrar o campo total
, integramos
de
até
:
Realizando a substituição
, temos
, o que simplifica a integração. Após resolver a integral, obtemos:
Passo 6
Agora, queremos analisar o comportamento desse campo quando
é muito maior que
(
). Nesse caso,
, então:
Passo 7
Observamos que a carga total
do disco é
. Substituindo
na expressão de
:
Isso é similar ao campo elétrico de uma carga pontual
a uma distância
:
Comparando as duas expressões, vemos que, a grandes distâncias, o campo do disco se comporta como o campo de uma carga pontual.
Resposta
Assim, a
campos elétrico do disco, a grandes distâncias ao longo do eixo de simetria, se comporta aproximadamente como:
Isso é equivalente ao campo elétrico de uma carga pontual
.
Exercícios relacionados
Considere um cilindro condutor oco, de raios interno e externo
e
, respectivamente, que transporta uma corrente
uniformemente distribuída ao longo da sua seção reta. (a) Mostre que, para pontos dentro do condutor, isto é, para
, o campo magnético
é dado por:
(b) Mostre que para
o campo magnético é nulo.
Considere uma esfera maciça de raio
e carga total
. Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo
, para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos:
Considere um condutor cilíndrico muito longo de raio
que conduz uma corrente elétrica
. Determine o módulo do campo magnético
para distâncias radiais
(dentro) e
(fora) medidas a partir do eixo do cilindro para uma densidade de corrente
: (a)
; (b)
;
Em relação ao efeito Hall, (a) mostre que a relação entre o campo elétrico Hall
e o campo elétrico
, responsável pela corrente
, é
. (b) Qual é o ângulo entre
e
? © Calcule o valor dessa relação para a situação de uma tira de cobre
elétrons
e
de
de largura e
de espessura colocada num campo magnético
perpendicular à fita
percorrida por uma corrente de
.