Um disco de raio R tem densidade superficial uniforme sigma. Mostre que, a grandes distâncias ao longo do eixo de simetria, o campo elétrico do disco comporta-se aproximadamente como de uma partícula carregada puntual.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos um disco com raio e densidade superficial uniforme . Queremos mostrar que, quando estamos a uma distância muito grande ao longo do eixo de simetria desse disco, o campo elétrico que ele gera se comporta como o campo elétrico de uma carga pontual. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga e como simplificar expressões quando estamos em grandes distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma distribuição de carga pode ser calculado integrando as contribuições de todas as partes da carga. No caso de um disco com densidade superficial , cada elemento de área no disco tem uma carga .

Passo 3

Para facilitar a integração, é útil considerar o disco como uma série de anéis concêntricos de raio e espessura . A carga em cada anel é . O campo elétrico gerado por um anel no eixo de simetria está apenas na direção do eixo, já que as componentes radiais se cancelam.

Passo 4

A expressão para o campo elétrico dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + r^2)^3/2 no eixo devido a um anel é dada por:
dE = sigma2varepsilon0 cdot z r dr(z^2 + r^2)^3/2
onde é a distância ao longo do eixo. Substituindo :

Passo 5

Para encontrar o campo total E = integral0^R sigma2varepsilon0 cdot z r dr(z^2 + r^2)^3/2 , integramos E = sigma2varepsilon0 ( zraizz^2 + R^2 ) de até :
Realizando a substituição , temos , o que simplifica a integração. Após resolver a integral, obtemos:

Passo 6

Agora, queremos analisar o comportamento desse campo quando E approx sigma2varepsilon0 ( zz^3 ) = sigma2varepsilon0 z^2 é muito maior que ( ). Nesse caso, , então:

Passo 7

Observamos que a carga total E approx Q2pivarepsilon0 z^2 do disco é Epontual = 14pivarepsilon0 cdot Qz^2 . Substituindo na expressão de :
Isso é similar ao campo elétrico de uma carga pontual a uma distância :
Comparando as duas expressões, vemos que, a grandes distâncias, o campo do disco se comporta como o campo de uma carga pontual.

Resposta

Assim, a E approx 14pivarepsilon0 cdot Qz^2 campos elétrico do disco, a grandes distâncias ao longo do eixo de simetria, se comporta aproximadamente como:
Isso é equivalente ao campo elétrico de uma carga pontual .

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