Dada uma densidade de corrente elétrica J no interior de um fio cilíndrico sólido longo de raio a=3 , 1 m m, onde a direção de J é ao longo do eixo central e sua magnitude varia linearmente com a distância radial r em relação ao eixo, conforme J=J0 (r / a), com J0=310 A / m^2. Determine:
(a) A magnitude do campo magnético para r <= a e r>a, expresse seu resultado e função dos parâmetros dados no problema.
(b) Calcule o camo em r=0, r=a / 2 e r=a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar a magnitude do campo magnético criado por uma densidade de corrente elétrica dentro e fora de um fio cilíndrico. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por um caminho fechado. Vamos precisar das fórmulas do Teorema de Ampère e saber como integrar a densidade de corrente elétrica para encontrar a corrente total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição da corrente. A densidade de corrente elétrica é dada por:
J = J0 ( ra )
onde e . Essa expressão mostra que a densidade de corrente aumenta linearmente com a distância radial desde o eixo do fio.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Ampère, que diz que:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Para um fio cilíndrico longo e simétrico, o campo magnético B cdot 2pi r = mu0 Ienc tem a mesma magnitude em todo círculo de raio e é paralelo a . Então, a integral do lado esquerdo fica:

Passo 4

Vamos calcular Ienc = integral0^r J cdot 2pi r' dr' = integral0^r J0 ( r'a ) 2pi r' dr' , a corrente encerrada pelo caminho de raio Ienc = 2pi J0a integral0^r r'^2 dr' = 2pi J0a cdot r^33 = 2pi J0 r^33a . Para :

Passo 5

Substituindo B cdot 2pi r = mu0 cdot 2pi J0 r^33a na equação de Ampère:
B = mu0 J0 r^23a
Simplificando:
Esse é o campo magnético para .

Passo 6

Para I = integral0^a J cdot 2pi r' dr' = integral0^a J0 ( r'a ) 2pi r' dr' , toda a corrente está dentro do caminho de Ampère. A corrente total I = 2pi J0a integral0^a r'^2 dr' = 2pi J0a cdot a^33 = 2pi J0 a^23 no fio é:
B cdot 2pi r = mu0 I
B = mu0 I2pi r = mu0 cdot 2pi J0 a^232pi r = mu0 J0 a^23r
Aplicando o Teorema de Ampère novamente:
Esse é o campo magnético para .

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) e calcular o campo magnético nos pontos especificados.
  • Em B = mu0 J0 cdot 0^23a = 0 , T :
B = mu0 J0 ( a2 )^23a = mu0 J0 a^212a = mu0 J0 a12
  • Em B = mu0 J0 a^23a = mu0 J0 a3 :
  • Em :
    Usando a expressão para :

Resposta

(a) A magnitude do campo magnético é dada por:
B(r) = mu0 J0 r^23a & para r <= a mu0 J0 a^23r & para r > a
(b) Calculando nos pontos especificados:
B(0) = 0 , T
B(a2) = mu0 J0 a12
B(a) = mu0 J0 a3

Exercícios relacionados