Dada uma densidade de corrente elétrica no interior de um fio cilíndrico sólido longo de raio , onde a direção de é ao longo do eixo central e sua magnitude varia linearmente com a distância radial em relação ao eixo, conforme , com . Determine:
(a) A magnitude do campo magnético para e , expresse seu resultado e função dos parâmetros dados no problema.
(b) Calcule o camo em e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar a magnitude do campo magnético criado por uma densidade de corrente elétrica dentro e fora de um fio cilíndrico. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por um caminho fechado. Vamos precisar das fórmulas do Teorema de Ampère e saber como integrar a densidade de corrente elétrica para encontrar a corrente total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição da corrente. A densidade de corrente elétrica é dada por:
onde e . Essa expressão mostra que a densidade de corrente aumenta linearmente com a distância radial desde o eixo do fio.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Ampère, que diz que:
Para um fio cilíndrico longo e simétrico, o campo magnético tem a mesma magnitude em todo círculo de raio e é paralelo a . Então, a integral do lado esquerdo fica:
Passo 4
Vamos calcular , a corrente encerrada pelo caminho de raio . Para :
Passo 5
Substituindo na equação de Ampère:
Simplificando:
Esse é o campo magnético para .
Passo 6
Para , toda a corrente está dentro do caminho de Ampère. A corrente total no fio é:
Aplicando o Teorema de Ampère novamente:
Esse é o campo magnético para .
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) e calcular o campo magnético nos pontos especificados.