Dada uma densidade de corrente elétrica
no interior de um fio cilíndrico sólido longo de raio
, onde a direção de
é ao longo do eixo central e sua magnitude varia linearmente com a distância radial
em relação ao eixo, conforme
, com
. Determine:
(a) A magnitude do campo magnético para
e
, expresse seu resultado e função dos parâmetros dados no problema.
(b) Calcule o camo em
e
.
(a) A magnitude do campo magnético para
(b) Calcule o camo em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar a magnitude do campo magnético criado por uma densidade de corrente elétrica dentro e fora de um fio cilíndrico. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por um caminho fechado. Vamos precisar das fórmulas do Teorema de Ampère e saber como integrar a densidade de corrente elétrica para encontrar a corrente total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição da corrente. A densidade de corrente elétrica é dada por:
onde
e
. Essa expressão mostra que a densidade de corrente aumenta linearmente com a distância radial
desde o eixo do fio.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Ampère, que diz que:
Para um fio cilíndrico longo e simétrico, o campo magnético
tem a mesma magnitude em todo círculo de raio
e é paralelo a
. Então, a integral do lado esquerdo fica:
Passo 4
Vamos calcular
, a corrente encerrada pelo caminho de raio
. Para
:
Passo 5
Substituindo
na equação de Ampère:
Simplificando:
Esse é o campo magnético para
.
Passo 6
Para
, toda a corrente está dentro do caminho de Ampère. A corrente total
no fio é:
Aplicando o Teorema de Ampère novamente:
Esse é o campo magnético para
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) e calcular o campo magnético nos pontos especificados.
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Usando a expressão para:
Resposta
(a) A magnitude do campo magnético é dada por:
(b) Calculando nos pontos especificados: