Considere um cilindro longo de raio , que possui em seu interior uma densidade de cargas , onde é uma constante positiva, sendo a distância medida desde o eixo do cilindro. Mostre que (a) a distância a partir do eixo onde o campo é máximo vale o maior valor do campo em módulo é .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos um cilindro longo com raio e uma densidade de carga que varia com a distância do eixo do cilindro, dada por . Precisamos descobrir dois pontos:
a) A distância a partir do eixo onde o campo elétrico é máximo.
b) O maior valor do campo elétrico em módulo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de carga . Ela varia linearmente com , começando de no eixo ( ) e diminuindo até zero na superfície do cilindro ( ).
A densidade de carga nos diz quanta carga está presente em um volume específico. No nosso caso, como o cilindro é longo, podemos considerar um comprimento para facilitar os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em função de . A Lei de Gauss nos diz que:
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento , e é paralelo à superfície.
Então, a integral se simplifica para:

Passo 4

Precisamos encontrar , a carga total dentro da superfície gaussiana de raio . Como a densidade de carga varia com , integramos sobre o volume do cilindro de raio :

Passo 5

Vamos resolver a integral para :
Integrando termo a termo:

Passo 6

Substituindo na expressão da Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:
Então, isolamos :

Passo 7

Agora, temos a expressão para o campo elétrico em função de :
Para encontrar onde o campo é máximo, precisamos derivar em relação a e igualar a zero:

Passo 8

Resolvendo a equação para :
Então, a distância a partir do eixo onde o campo é máximo é .

Passo 9

Agora, substituímos na expressão de para encontrar o valor máximo do campo elétrico:

Resposta

(a) A distância a partir do eixo onde o campo elétrico é máximo é .
(b) O maior valor do campo elétrico em módulo é .

Exercícios relacionados

Uma esfera sólida de raio tem uma densidade de carga não uniforme que varia com de acordo com a expressão , onde é uma constante e é medida a partir do centro da esfera. Utilizando a lei de Gauss calcule (a) o campo elétrico fora da esfera ( ) e (b) o campo elétrico dentro da esfera .
Uma esfera sólida de raio tem uma densidade de carga não uniforme que varia com de acordo com a expressão , onde é uma constante e é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera ( ) é . (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera é .
Um fio cilíndrico condutor infinito de raio , localizado no vácuo, apresenta uma densidade de corrente elétricade de modo que , na região e para . Onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade magnética do vácuo é . Usando coordenas cilíndricas e considerando que , calcule o potencial vetor magnético na região .
Considere o disco de raio , que possui uma densidade superficial de cargas , onde é a distância até o centro do disco e é uma constante. Mostre que potencial devido ao disco no eixo .