Considere um cilindro longo de raio R, que possui em seu interior uma densidade de cargas rho=rho0(1-rR), onde rho0 é uma constante positiva, sendo r a distância medida desde o eixo do cilindro. Mostre que (a) a distância a partir do eixo onde o campo é máximo vale 3 R4 e(b) o maior valor do campo em módulo é 3 rho0 R16 varepsilon0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos um cilindro longo com raio e uma densidade de carga que varia com a distância do eixo do cilindro, dada por . Precisamos descobrir dois pontos:
a) A distância a partir do eixo onde o campo elétrico é máximo.
b) O maior valor do campo elétrico em módulo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de carga . Ela varia linearmente com , começando de no eixo ( ) e diminuindo até zero na superfície do cilindro ( ).
A densidade de carga nos diz quanta carga está presente em um volume específico. No nosso caso, como o cilindro é longo, podemos considerar um comprimento para facilitar os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 em função de E cdot (2pi r L) = Qencvarepsilon0 . A Lei de Gauss nos diz que:
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento , e é paralelo à superfície.
Então, a integral se simplifica para:

Passo 4

Precisamos encontrar Qenc = integral0^r rho cdot 2pi r' L , dr' = integral0^r rho0(1 - r'R) 2pi r' L , dr' , a carga total dentro da superfície gaussiana de raio . Como a densidade de carga varia com , integramos sobre o volume do cilindro de raio :

Passo 5

Vamos resolver a integral para Qenc = 2pi rho0 L integral0^r (r' - r'^2R) dr' :
Qenc = 2pi rho0 L [ r'^22 - r'^33R ]0^r = 2pi rho0 L ( r^22 - r^33R )
Integrando termo a termo:

Passo 6

Substituindo E cdot (2pi r L) = 2pi rho0 L ( r^22 - r^33R )varepsilon0 na expressão da Lei de Gauss:
E cdot r = rho0 ( r^22 - r^33R )varepsilon0
Podemos simplificar cancelando E = rho0varepsilon0 r ( r^22 - r^33R ) = rho0varepsilon0 ( r2 - r^23R ) dos dois lados:
Então, isolamos :

Passo 7

Agora, temos a expressão para o campo elétrico em função de E(r) = rho0varepsilon0 ( r2 - r^23R ) :
dEdr = rho0varepsilon0 ( 12 - 2r3R ) = 0
Para encontrar onde o campo é máximo, precisamos derivar em relação a e igualar a zero:

Passo 8

Resolvendo a equação para 12 - 2r3R = 0 2r3R = 12 r = 3R4 :
Então, a distância a partir do eixo onde o campo é máximo é .

Passo 9

Agora, substituímos E(3R4) = rho0varepsilon0 ( 3R42 - (3R4)^23R ) = rho0varepsilon0 ( 3R8 - 9R^248R ) = rho0varepsilon0 ( 3R8 - 3R16 ) = rho0varepsilon0 ( 6R16 - 3R16 ) = rho0varepsilon0 cdot 3R16 = 3 rho0 R16 varepsilon0 na expressão de para encontrar o valor máximo do campo elétrico:

Resposta

(a) A distância a partir do eixo onde o campo elétrico é máximo é .
(b) O maior valor do campo elétrico em módulo é .

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