Considere um cilindro longo de raio
, que possui em seu interior uma densidade de cargas
, onde
é uma constante positiva, sendo
a distância medida desde o eixo do cilindro. Mostre que (a) a distância a partir do eixo onde o campo é máximo vale
o maior valor do campo em módulo é
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos um cilindro longo com raio
e uma densidade de carga que varia com a distância
do eixo do cilindro, dada por
. Precisamos descobrir dois pontos:
a) A distância
a partir do eixo onde o campo elétrico é máximo.
b) O maior valor do campo elétrico em módulo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade de carga
. Ela varia linearmente com
, começando de
no eixo (
) e diminuindo até zero na superfície do cilindro (
).
A densidade de carga nos diz quanta carga está presente em um volume específico. No nosso caso, como o cilindro é longo, podemos considerar um comprimento
para facilitar os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em função de
. A Lei de Gauss nos diz que:
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
, e é paralelo à superfície.
Então, a integral se simplifica para:
Passo 4
Precisamos encontrar
, a carga total dentro da superfície gaussiana de raio
. Como a densidade de carga varia com
, integramos
sobre o volume do cilindro de raio
:
Passo 5
Vamos resolver a integral para
:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Substituindo
na expressão da Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Então, isolamos
:
Passo 7
Agora, temos a expressão para o campo elétrico em função de
:
Para encontrar onde o campo é máximo, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Passo 8
Resolvendo a equação para
:
Então, a distância a partir do eixo onde o campo é máximo é
.
Passo 9
Agora, substituímos
na expressão de
para encontrar o valor máximo do campo elétrico:
Resposta
(a) A distância a partir do eixo onde o campo elétrico é máximo é
.
(b) O maior valor do campo elétrico em módulo é
.
Exercícios relacionados
Uma esfera sólida de raio
tem uma densidade de carga não uniforme que varia com
de acordo com a expressão
, onde
é uma constante e
é medida a partir do centro da esfera. Utilizando a lei de Gauss calcule (a) o campo elétrico fora da esfera (
) e (b) o campo elétrico dentro da esfera
.
Uma esfera sólida de raio
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é uma constante e
é medida a partir do centro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico fora da esfera (
) é
. (b) Mostre que o campo elétrico dentro da esfera
é
.
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, na região
e
para
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, calcule o potencial vetor magnético na região
.
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é uma constante. Mostre que potencial devido ao disco no eixo
.