Uma longa barra de cobre com seção reta retangular, cuja largura W é muito maior que sua espessura , encontra-se com a sua superfície inferior em contato com um sorvedouro de calor de tal modo que a temperatura ao longo de toda a barra é aproximadamente igual à do sorvedouro, . De repente uma corrente elétrica é passada através da barra, e uma corrente de ar, com temperatura e coeficiente convectivo , é soprada por sobre a sua superfície superior. A superfície inferior continua mantida a . Obtenha a equação diferencial e as condições inicial e de contorno que poderiam ser usadas para determinar a temperatura da barra em função da posição e do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma barra longa de cobre com uma seção reta retangular, onde a largura é muito maior que a espessura . A superfície inferior da barra está em contato com um sorvedouro de calor que mantém toda essa parte a uma temperatura constante de . De repente, uma corrente elétrica passa pela barra, e um ar com temperatura e coeficiente convectivo é soprada sobre a superfície superior da barra. A superfície inferior continua mantendo a temperatura . O que a questão quer é que a gente encontre a equação diferencial que descreve a temperatura da barra em função da posição e do tempo, além das condições iniciais e de contorno para resolver essa equação.
Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente a equação de condução de calor, e considerar os efeitos de convecção e geração de calor devido à corrente elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor unidimensional com geração interna de calor. Ela descreve como a temperatura varia ao longo da posição e do tempo :
Onde:
é a densidade do material,
é o calor específico,
é a condutividade térmica,
é a taxa de geração de calor interno.
No nosso caso, a corrente elétrica que passa pela barra gera calor devido ao efeito Joule. A taxa de geração de calor pode ser relacionada à densidade de corrente e à resistividade do material.
Passo 3
Agora, vamos considerar a geração de calor pela corrente elétrica. O calor gerado por unidade de volume devido à corrente elétrica é dado por:
Onde:
é a densidade de corrente,
é a resistividade elétrica do cobre.
No entanto, para simplificar, podemos considerar como uma constante, já que a corrente e as propriedades do material são constantes.
Passo 4
Vamos agora estabelecer as condições de contorno. Temos duas superfícies na barra:
Superfície inferior: a temperatura é mantida constante em . Isso significa que, para toda a posição e em todo o tempo:
Superfície superior: há convecção com o ar soprando, cuja temperatura é e coeficiente convectivo . A condição de contorno aqui é dada pela lei de resfriamento de Newton:
Passo 5
Para as condições iniciais, assumimos que, antes da corrente elétrica ser passada, a barra estava em equilíbrio térmico com a superfície inferior a T(x,0) = 30^circ C para todo 0 <= x <= L e, presumivelmente, a superfície superior também estava a essa mesma temperatura. Então, no instante inicial , a temperatura ao longo da barra é:
Passo 6
Juntando tudo, temos que a equação diferencial que descreve a temperatura da barra é:
rho cp partial Tpartial t = k partial^2 Tpartial x^2 + Q
Condições de contorno:
T(x,0) = 30^circ C para todo 0 <= x <= L
Condição inicial:
Resposta
A equação diferencial que descreve a temperatura rho cp partial Tpartial t = k partial^2 Tpartial x^2 + Q da barra em função da posição T(x,0) = 30^circ C para todo 0 <= x <= L e do tempo é: