Uma longa barra de cobre com seção reta retangular, cuja largura W é muito maior que sua espessura L, encontra-se com a sua superfície inferior em contato com um sorvedouro de calor de tal modo que a temperatura ao longo de toda a barra é aproximadamente igual à do sorvedouro, T d=30^circ C. De repente uma corrente elétrica é passada através da barra, e uma corrente de ar, com temperatura T=15^circ C e coeficiente convectivo h=10 W / m^2 K, é soprada por sobre a sua superfície superior. A superfície inferior continua mantida a T d. Obtenha a equação diferencial e as condições inicial e de contorno que poderiam ser usadas para determinar a temperatura da barra em função da posição e do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma barra longa de cobre com uma seção reta retangular, onde a largura é muito maior que a espessura . A superfície inferior da barra está em contato com um sorvedouro de calor que mantém toda essa parte a uma temperatura constante de . De repente, uma corrente elétrica passa pela barra, e um ar com temperatura e coeficiente convectivo é soprada sobre a superfície superior da barra. A superfície inferior continua mantendo a temperatura . O que a questão quer é que a gente encontre a equação diferencial que descreve a temperatura da barra em função da posição e do tempo, além das condições iniciais e de contorno para resolver essa equação.
Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente a equação de condução de calor, e considerar os efeitos de convecção e geração de calor devido à corrente elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor unidimensional com geração interna de calor. Ela descreve como a temperatura rho cp partial Tpartial t = k partial^2 Tpartial x^2 + Q varia ao longo da posição e do tempo :
Onde:
  • é a densidade do material,
  • é o calor específico,
  • é a condutividade térmica,
  • é a taxa de geração de calor interno.
No nosso caso, a corrente elétrica que passa pela barra gera calor devido ao efeito Joule. A taxa de geração de calor pode ser relacionada à densidade de corrente e à resistividade do material.

Passo 3

Agora, vamos considerar a geração de calor pela corrente elétrica. O calor gerado por unidade de volume devido à corrente elétrica é dado por:
Q = J^2 rhov
Onde:
  • é a densidade de corrente,
  • é a resistividade elétrica do cobre.
No entanto, para simplificar, podemos considerar como uma constante, já que a corrente e as propriedades do material são constantes.

Passo 4

Vamos agora estabelecer as condições de contorno. Temos duas superfícies na barra:
  1. Superfície inferior: a temperatura é mantida constante em T(x=0,t) = 30^circ C . Isso significa que, para toda a posição e em todo o tempo:
- k partial Tpartial xg|x=L = h ( T(x=L,t) - Tinfty )
  1. Superfície superior: há convecção com o ar soprando, cuja temperatura é e coeficiente convectivo . A condição de contorno aqui é dada pela lei de resfriamento de Newton:

Passo 5

Para as condições iniciais, assumimos que, antes da corrente elétrica ser passada, a barra estava em equilíbrio térmico com a superfície inferior a T(x,0) = 30^circ C para todo 0 <= x <= L e, presumivelmente, a superfície superior também estava a essa mesma temperatura. Então, no instante inicial , a temperatura ao longo da barra é:

Passo 6

Juntando tudo, temos que a equação diferencial que descreve a temperatura da barra é:
rho cp partial Tpartial t = k partial^2 Tpartial x^2 + Q
Condições de contorno:
  1. T(x,0) = 30^circ C para todo 0 <= x <= L
Condição inicial:

Resposta

A equação diferencial que descreve a temperatura rho cp partial Tpartial t = k partial^2 Tpartial x^2 + Q da barra em função da posição T(x,0) = 30^circ C para todo 0 <= x <= L e do tempo é:
Com as seguintes condições:
  • Condições de Contorno:
  • Condição Inicial:

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