Considere uma esfera maciça isolante de raio R e carga total Q. Calcule as constantes A, B e C e o campo elétrico gerado pela esfera em todo espaço para as densidades volumétricas: a) rho=A r; b) rho=B / r; c) rho=C / r^2, onde A, B e C são constantes e r é a distância ao centro da esfera.
Resp.
& Constante rR & a) A=Qpi R^4 E=Q r^24 pi epsilono R^4 E=Q4 pi epsilon0 r^2 & b) B=Q2 pi R^2 E=Q4 pi epsilono R^2 E=Q4 pi epsilono r^2 & c) C=Q4 pi R E=Q4 pi epsilono R r E=Q4 pi epsilono r^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante com raio e carga total . Queremos encontrar as constantes , e para diferentes densidades de carga, e também o campo elétrico que essa esfera gera em todo o espaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos de distribuições de carga com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade volumétrica de carga Q = integralV rho , dV descreve como a carga está distribuída dentro da esfera. Dependendo da expressão de dV = 4pi r^2 dr , a constante , ou vai variar para satisfazer a condição de que a carga total seja distribuída na esfera.
A fórmula para a carga total em termos da densidade de carga é:
Como a esfera é simétrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas. O volume diferencial em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos resolver cada caso separadamente.

a) Q = integral0^R A r cdot 4pi r^2 dr = 4pi A integral0^R r^3 dr = 4pi A [ r^44 ]0^R = pi A R^4

Encontrando a constante A = Qpi R^4

A carga total Qinterno = integral0^r A r' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi A integral0^r r'^3 dr' = pi A r^4 é:
E cdot 4pi r^2 = Qinternoepsilon0 Rightarrow E = Qinterno4pi epsilon0 r^2 = pi A r^44pi epsilon0 r^2 = A r^24 epsilon0
Então, isolando E = Q r^24 pi epsilon0 R^4 :
E = Q4pi epsilon0 r^2

Calculando o campo elétrico Q = integral0^R Br cdot 4pi r^2 dr = 4pi B integral0^R r dr = 4pi B [ r^22 ]0^R = 2pi B R^2

Usando a lei de Gauss, o campo elétrico dentro ( B = Q2pi R^2 ) e fora ( Qinterno = integral0^r Br' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi B integral0^r r' dr' = 2pi B r^2 ) da esfera é dado por:
  • Para E = Qinterno4pi epsilon0 r^2 = 2pi B r^24pi epsilon0 r^2 = B2 epsilon0 = Q4pi epsilon0 R^2 :
A carga dentro de uma esfera de raio E = Q4pi epsilon0 r^2 é:
Q = integral0^R Cr^2 cdot 4pi r^2 dr = 4pi C integral0^R dr = 4pi C R
Aplicando a lei de Gauss:
C = Q4pi R
Substituindo Qinterno = integral0^r Cr'^2 cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi C integral0^r dr' = 4pi C r :
E = Qinterno4pi epsilon0 r^2 = 4pi C r4pi epsilon0 r^2 = Cepsilon0 r = Q4pi epsilon0 R r
  • Para E = Q4pi epsilon0 r^2 :
Toda a carga está dentro da esfera, então:

b)

Encontrando a constante

A carga total é:
Isolando :

Calculando o campo elétrico

  • Para :
A carga interna é:
Aplicando a lei de Gauss:
  • Para :
Toda a carga está dentro da esfera:

c)

Encontrando a constante

A carga total é:
Isolando :

Calculando o campo elétrico

  • Para :
A carga interna é:
Aplicando a lei de Gauss:
  • Para :
Toda a carga está dentro da esfera:

Resposta

a) , para e para .
b) , para e para .
c) , para e para .

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