Considere uma esfera maciça isolante de raio e carga total . Calcule as constantes e e o campo elétrico gerado pela esfera em todo espaço para as densidades volumétricas: a) ; b) ; c) , onde e são constantes e é a distância ao centro da esfera.
Resp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante com raio e carga total . Queremos encontrar as constantes , e para diferentes densidades de carga, e também o campo elétrico que essa esfera gera em todo o espaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos de distribuições de carga com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade volumétrica de carga descreve como a carga está distribuída dentro da esfera. Dependendo da expressão de , a constante , ou vai variar para satisfazer a condição de que a carga total seja distribuída na esfera.
A fórmula para a carga total em termos da densidade de carga é:
Como a esfera é simétrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas. O volume diferencial em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos resolver cada caso separadamente.

a)

Encontrando a constante

A carga total é:
Então, isolando :

Calculando o campo elétrico

Usando a lei de Gauss, o campo elétrico dentro ( ) e fora ( ) da esfera é dado por:
  • Para :
A carga dentro de uma esfera de raio é:
Aplicando a lei de Gauss:
Substituindo :
  • Para :
Toda a carga está dentro da esfera, então:

b)

Encontrando a constante

A carga total é:
Isolando :

Calculando o campo elétrico

  • Para :
A carga interna é:
Aplicando a lei de Gauss:
  • Para :
Toda a carga está dentro da esfera:

c)

Encontrando a constante

A carga total é:
Isolando :

Calculando o campo elétrico

  • Para :
A carga interna é:
Aplicando a lei de Gauss:
  • Para :
Toda a carga está dentro da esfera:

Resposta

a) , para e para .
b) , para e para .
c) , para e para .

Exercícios relacionados

Duas cascas cilíndricas coaxiais condutoras carregadas têm raios e , onde . A casca interna tem carga e a casca externa possui potencial elétrico . Mostre que o potencial da casca interna é expresso po . Mostre também que a carga da casca externa deve ser igual a para que o potencial seja constante nos pontos externos às cascas.
Considere um cilindro maciço de raio , não condutor, muito longo e com densidade constante e igual a . Calcule o campo elétrico ( é a distância ao
centro do cilindro) nas regiões: a) ; b) . (Resp. a) )
Considere um cilindro sólido de raio , não condutor, muito longo e com densidade volumétrica de carga onde . Calcule: a) a densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) para o cilindro; b) o campo elétrico para todos os pontos do espaço.
Resp.
a) ;
b) para e para
Considere duas finas cascas esféricas metálicas e concêntricas, de raio e , onde . A casca externa tem uma carga Q, mas a interna está aterrada. Determine: a) a carga na casca interna; b) o potencial devido às duas cascas para todo o espaço.
Resp.
а) ;
b) para para e
onde