Considere uma esfera maciça isolante de raio
e carga total
. Calcule as constantes
e
e o campo elétrico gerado pela esfera em todo espaço para as densidades volumétricas: a)
; b)
; c)
, onde
e
são constantes e
é a distância ao centro da esfera.
Resp.
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante com raio
e carga total
. Queremos encontrar as constantes
,
e
para diferentes densidades de carga, e também o campo elétrico que essa esfera gera em todo o espaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos de distribuições de carga com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade volumétrica de carga
descreve como a carga está distribuída dentro da esfera. Dependendo da expressão de
, a constante
,
ou
vai variar para satisfazer a condição de que a carga total
seja distribuída na esfera.
A fórmula para a carga total
em termos da densidade de carga
é:
Como a esfera é simétrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas. O volume diferencial em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos resolver cada caso separadamente.
a)
Encontrando a constante
A carga total
é:
Então, isolando
:
Calculando o campo elétrico
Usando a lei de Gauss, o campo elétrico dentro (
) e fora (
) da esfera é dado por:
- Para
:
A carga dentro de uma esfera de raio
é:
Aplicando a lei de Gauss:
Substituindo
:
- Para
:
Toda a carga
está dentro da esfera, então:
b)
Encontrando a constante
A carga total
é:
Isolando
:
Calculando o campo elétrico
- Para
:
A carga interna é:
Aplicando a lei de Gauss:
- Para
:
Toda a carga
está dentro da esfera:
c)
Encontrando a constante
A carga total
é:
Isolando
:
Calculando o campo elétrico
- Para
:
A carga interna é:
Aplicando a lei de Gauss:
- Para
:
Toda a carga
está dentro da esfera:
Resposta
a)
,
para
e
para
.
b)
,
para
e
para
.
c)
,
para
e
para
.