Duas cascas cilíndricas coaxiais condutoras carregadas têm raios e , onde . A casca interna tem carga e a casca externa possui potencial elétrico . Mostre que o potencial da casca interna é expresso po . Mostre também que a carga da casca externa deve ser igual a para que o potencial seja constante nos pontos externos às cascas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas cascas cilíndricas condutoras que estão uma dentro da outra, compartilhando o mesmo eixo (coaxiais). A casca interna tem raio e carga , e a casca externa tem raio e potencial elétrico . Precisamos descobrir:
  1. Qual é o potencial da casca interna .
  2. Mostrar que a carga da casca externa deve ser para que o potencial seja constante fora das cascas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, principalmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um cilindro infinito com carga por unidade de comprimento , o campo elétrico em uma distância do eixo é dado por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo.
  • é a distância radial do eixo do cilindro.
Agora, vamos considerar as duas cascas:
  • Casca Interna: raio , carga .
  • Casca Externa: raio , potencial .

Passo 3

Para encontrar o potencial na casca interna , precisamos calcular o potencial devido à casca interna e à casca externa.
O potencial devido a uma casca cilíndrica no ponto é dado pela integral do campo elétrico:
Vamos calcular o potencial na casca interna:
  1. Potencial devido à casca interna no próprio raio :
    Aqui, usamos a integração do campo elétrico da casca interna de até .
  2. Potencial devido à casca externa no raio :
    Como a casca externa tem potencial e está a uma distância , o potencial na casca interna será a soma dos dois potenciais.

Passo 4

Juntando os potenciais:
Isso mostra que o potencial na casca interna é igual ao potencial da casca externa mais um termo que depende da carga da casca interna e dos raios das cascas.

Passo 5

Agora, para que o potencial seja constante fora das cascas, o campo elétrico fora das cascas deve ser zero. Isso significa que a carga total no conjunto das cascas deve ser zero (para cancelar os campos elétricos).
Como a casca interna tem carga , a casca externa precisa ter carga para cancelar o campo elétrico fora das cascas.

Resposta

O potencial da casca interna é dado por
E a carga da casca externa deve ser igual a para que o potencial seja constante nos pontos externos às cascas.

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centro do cilindro) nas regiões: a) ; b) . (Resp. a) )
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Resp.
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Resp.
a) ;
b) para e para