Duas cascas cilíndricas coaxiais condutoras carregadas têm raios
e
, onde
. A casca interna tem carga
e a casca externa possui potencial elétrico
. Mostre que o potencial da casca interna é expresso po
. Mostre também que a carga da casca externa deve ser igual a
para que o potencial seja constante nos pontos externos às cascas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas cascas cilíndricas condutoras que estão uma dentro da outra, compartilhando o mesmo eixo (coaxiais). A casca interna tem raio
e carga
, e a casca externa tem raio
e potencial elétrico
. Precisamos descobrir:
- Qual é o potencial da casca interna
. - Mostrar que a carga da casca externa deve ser
para que o potencial seja constante fora das cascas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, principalmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um cilindro infinito com carga por unidade de comprimento
, o campo elétrico
em uma distância
do eixo é dado por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo. -
é a distância radial do eixo do cilindro.
Agora, vamos considerar as duas cascas:
- Casca Interna: raio
, carga . - Casca Externa: raio
, potencial .
Passo 3
Para encontrar o potencial na casca interna
, precisamos calcular o potencial devido à casca interna e à casca externa.
O potencial devido a uma casca cilíndrica no ponto
é dado pela integral do campo elétrico:
Vamos calcular o potencial na casca interna:
-
Potencial devido à casca interna no próprio raio
: Aqui, usamos a integração do campo elétrico da casca interna deaté . -
Potencial devido à casca externa no raio
: Como a casca externa tem potenciale está a uma distância , o potencial na casca interna será a soma dos dois potenciais.
Passo 4
Juntando os potenciais:
Isso mostra que o potencial na casca interna é igual ao potencial da casca externa mais um termo que depende da carga da casca interna e dos raios das cascas.
Passo 5
Agora, para que o potencial seja constante fora das cascas, o campo elétrico fora das cascas deve ser zero. Isso significa que a carga total no conjunto das cascas deve ser zero (para cancelar os campos elétricos).
Como a casca interna tem carga
, a casca externa precisa ter carga
para cancelar o campo elétrico fora das cascas.
Resposta
O potencial da casca interna é dado por
E a carga da casca externa deve ser igual a
para que o potencial seja constante nos pontos externos às cascas.