Qual é a velocidade de escape de um elétron (carga
e massa
) em repouso na superfície de uma esfera de raio
e uniformemente carregada com carga
? Em outras palavras, que velocidade inicial um elétron deve adquirir para chegar a uma distância infinita da esfera com energia cinética zero? (Deixe sua resposta em função de
e
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual a velocidade que um elétron precisa ter para escapar de uma esfera carregada e chegar bem longe, praticamente ao infinito, sem deixar nenhuma energia cinética sobrando. A matéria envolvida aqui é eletrostática, especificamente a relação entre energia cinética e energia potencial elétrica. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial elétrica e energia cinética para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia potencial elétrica que o elétron tem devido à esfera carregada. A esfera tem uma carga total de
, e o elétron tem uma carga
. A fórmula para a energia potencial elétrica (
) de uma carga
em uma esfera de carga
e raio
é:
Passo 3
Substituindo os valores conhecidos na fórmula, temos:
O sinal negativo indica que a energia é potencialmente ligada, mas como estamos interessados na quantidade de energia necessária para escapar, vamos considerar o valor absoluto:
Passo 4
Agora, para que o elétron escape da esfera e alcance o infinito com energia cinética zero, a energia cinética inicial (
) dele precisa ser igual à energia potencial que ele tem na superfície. A fórmula da energia cinética é:
Onde
é a massa do elétron e
é a velocidade que queremos encontrar.
Passo 5
Igualando a energia cinética à energia potencial:
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A velocidade de escape do elétron é dada por: