Qual é a velocidade de escape de um elétron (carga q=-e e massa me ) em repouso na superfície de uma esfera de raio R e uniformemente carregada com carga Q=4 e ? Em outras palavras, que velocidade inicial um elétron deve adquirir para chegar a uma distância infinita da esfera com energia cinética zero? (Deixe sua resposta em função de e, me, pi, R e varepsilon0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual a velocidade que um elétron precisa ter para escapar de uma esfera carregada e chegar bem longe, praticamente ao infinito, sem deixar nenhuma energia cinética sobrando. A matéria envolvida aqui é eletrostática, especificamente a relação entre energia cinética e energia potencial elétrica. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial elétrica e energia cinética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial elétrica que o elétron tem devido à esfera carregada. A esfera tem uma carga total de Q = 4e, e o elétron tem uma carga q = -e. A fórmula para a energia potencial elétrica ( U) de uma carga q em uma esfera de carga Q e raio R é:
U = qQ4 pi varepsilon0 R

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos na fórmula, temos:
U = (-e)(4e)4 pi varepsilon0 R = -4e^24 pi varepsilon0 R = -e^2pi varepsilon0 R
O sinal negativo indica que a energia é potencialmente ligada, mas como estamos interessados na quantidade de energia necessária para escapar, vamos considerar o valor absoluto:
U = e^2pi varepsilon0 R

Passo 4

Agora, para que o elétron escape da esfera e alcance o infinito com energia cinética zero, a energia cinética inicial ( K) dele precisa ser igual à energia potencial que ele tem na superfície. A fórmula da energia cinética é:
K = 12 me v^2
Onde me é a massa do elétron e v é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 5

Igualando a energia cinética à energia potencial:
12 me v^2 = e^2pi varepsilon0 R
Agora, vamos resolver para v:
v^2 = 2 e^2me pi varepsilon0 R
v = raiz2 e^2me pi varepsilon0 R

Resposta

A velocidade de escape do elétron é dada por:
v = raiz2 e^2me pi varepsilon0 R

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