Considere um cilindro sólido de raio 1,5 cm, não condutor, muito longo e com densidade volumétrica de carga rho=A / r onde A=200 nC / m^2. Calcule: a) a densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) para o cilindro; b) o campo elétrico para todos os pontos do espaço.
Resp.
a) lambda=18,8 n C / m;
b) E=22,6 KN / C para r<1,5 cm e E=339r Nm / C para r>1,5 cm

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro sólido, não condutor, muito longo, com raio de 1,5 cm. A densidade volumétrica de carga é dada por , onde . Vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente densidade de carga e a Lei de Gauss para calcular:
a) A densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) do cilindro.
b) O campo elétrico em todos os pontos do espaço ao redor do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear de carga lambda = integral rho , dA . A densidade linear de carga é a carga total por unidade de comprimento do cilindro. Para isso, precisamos integrar a densidade volumétrica de carga lambda = integral0^R Ar cdot 2pi r , dr = 2pi A integral0^R dr = 2pi A R ao longo da área da seção transversal do cilindro.
Sabemos que R = 1,5 , cm = 0,015 , m , onde A = 200 , nC/m^2 = 200 times 10^-9 , C/m^2 , e lambda = 2pi times 200 times 10^-9 times 0,015 = 18,8 times 10^-9 , C/m = 18,8 , nC/m é a distância do eixo do cilindro.
A densidade linear de carga é dada por:
Em coordenadas cilíndricas, , então:
Substituindo os valores:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 em diferentes pontos do espaço usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Qinterno = integral0^r rho cdot 2pi r' L , dr' = 2pi L integral0^r Ar' r' , dr' = 2pi A L integral0^r dr' = 2pi A L r
Onde E cdot 2pi r L = 2pi A L rvarepsilon0 é a carga dentro da superfície gaussiana e E = A rvarepsilon0 é a permissividade do vácuo ( E = 200 times 10^-9 times r8,85 times 10^-12 approx 22,6 times 10^3 , N/C = 22,6 , kN/C ).
Vamos considerar duas regiões:

a) Para E cdot 2pi r L = lambda Lvarepsilon0 :

Aqui, estamos dentro do cilindro. A carga interna E = lambda2pi varepsilon0 r até o raio E = 18,8 times 10^-92pi times 8,85 times 10^-12 times r approx 339r , N/C é:
Onde é o comprimento do cilindro considerado.
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo os valores:

b) Para :

Agora, consideramos o ponto fora do cilindro. A carga total do cilindro por unidade de comprimento é .
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo os valores:

Resposta

a) ;
b) para e para .

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