Considere um cilindro sólido de raio
, não condutor, muito longo e com densidade volumétrica de carga
onde
. Calcule: a) a densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) para o cilindro; b) o campo elétrico para todos os pontos do espaço.
Resp.
a)
;
b)
para
e
para
Resp.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro sólido, não condutor, muito longo, com raio de 1,5 cm. A densidade volumétrica de carga é dada por
, onde
. Vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente densidade de carga e a Lei de Gauss para calcular:
a) A densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) do cilindro.
b) O campo elétrico em todos os pontos do espaço ao redor do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade linear de carga
. A densidade linear de carga é a carga total por unidade de comprimento do cilindro. Para isso, precisamos integrar a densidade volumétrica de carga
ao longo da área da seção transversal do cilindro.
Sabemos que
, onde
, e
é a distância do eixo do cilindro.
A densidade linear de carga é dada por:
Em coordenadas cilíndricas,
, então:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico
em diferentes pontos do espaço usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo (
).
Vamos considerar duas regiões:
a) Para
:
Aqui, estamos dentro do cilindro. A carga interna
até o raio
é:
Onde
é o comprimento do cilindro considerado.
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo os valores:
b) Para
:
Agora, consideramos o ponto fora do cilindro. A carga total
do cilindro por unidade de comprimento é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo os valores:
Resposta
a)
;
b)
para
e
para
.