Considere um cilindro sólido de raio
, não condutor, muito longo e com densidade volumétrica de carga
onde
. Calcule: a) a densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) para o cilindro; b) o campo elétrico para todos os pontos do espaço.
Resp.
a)
;
b)
para
e
para
Resp.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro sólido, não condutor, muito longo, com raio de 1,5 cm. A densidade volumétrica de carga é dada por
, onde
. Vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente densidade de carga e a Lei de Gauss para calcular:
a) A densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) do cilindro.
b) O campo elétrico em todos os pontos do espaço ao redor do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade linear de carga
. A densidade linear de carga é a carga total por unidade de comprimento do cilindro. Para isso, precisamos integrar a densidade volumétrica de carga
ao longo da área da seção transversal do cilindro.
Sabemos que
, onde
, e
é a distância do eixo do cilindro.
A densidade linear de carga é dada por:
Em coordenadas cilíndricas,
, então:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico
em diferentes pontos do espaço usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo (
).
Vamos considerar duas regiões:
a) Para
:
Aqui, estamos dentro do cilindro. A carga interna
até o raio
é:
Onde
é o comprimento do cilindro considerado.
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo os valores:
b) Para
:
Agora, consideramos o ponto fora do cilindro. A carga total
do cilindro por unidade de comprimento é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo os valores:
Resposta
a)
;
b)
para
e
para
.
Exercícios relacionados
Considere uma esfera maciça isolante de raio
e carga total
. Calcule as constantes
e
e o campo elétrico gerado pela esfera em todo espaço para as densidades volumétricas: a)
; b)
; c)
, onde
e
são constantes e
é a distância ao centro da esfera.
Resp.
Resp.
Duas cascas cilíndricas coaxiais condutoras carregadas têm raios
e
, onde
. A casca interna tem carga
e a casca externa possui potencial elétrico
. Mostre que o potencial da casca interna é expresso po
. Mostre também que a carga da casca externa deve ser igual a
para que o potencial seja constante nos pontos externos às cascas.
Considere duas finas cascas esféricas metálicas e concêntricas, de raio
e
, onde
. A casca externa tem uma carga Q, mas a interna está aterrada. Determine: a) a carga na casca interna; b) o potencial
devido às duas cascas para todo o espaço.
Resp.
а) ;
b) para
para
e
onde
Resp.
а)
b)
onde
Sabendo que a viscosidade do sangue a
, é
metro, determine o valor de
com sua respectiva unidade.