Considere duas finas cascas esféricas metálicas e concêntricas, de raio a e b, onde b>a. A casca externa tem uma carga Q, mas a interna está aterrada. Determine: a) a carga na casca interna; b) o potencial V(r) devido às duas cascas para todo o espaço.
Resp.
а) q=-Q a / b;
b) V(r)=K Qb para r para a <= r e V(r)=K Qr(1-ab)
onde K=1 / 4 pi epsilono

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas cascas esféricas metálicas finas que são concêntricas, ou seja, têm o mesmo centro, com raios a e b, sendo b > a. A casca externa possui uma carga Q, e a interna está aterrada (o que significa que seu potencial elétrico é zero). Precisamos determinar:
a) A carga na casca interna.
b) O potencial V(r) devido às duas cascas para todo o espaço.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Lei de Gauss e potencial elétrico em estruturas esféricas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Parte a) Determinar a carga na casca interna.
Primeiro, vamos lembrar que quando uma casca condutora está aterrada, ela tem potencial zero. Como a casca interna está aterrada e a externa tem carga Q, precisamos entender como a carga se distribui.
Usaremos a Lei de Gauss para encontrar a carga induzida na casca interna.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • dA é um elemento de área,
  • Qenc é a carga total dentro da superfície gaussiana,
  • varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.
Para a casca interna, vamos considerar uma superfície gaussiana esférica de raio r tal que a < r < b.

Passo 4

Campo Elétrico entre as Casas:
Dentro de uma casca condutora, o campo elétrico é zero. Portanto, para r < a, E = 0.
Para a < r < b, o campo elétrico devido à casca externa com carga Q é:
E = 14pi varepsilon0 cdot Qr^2
Mas, como a casca interna está aterrada, ela vai induzir uma carga q para neutralizar o potencial.

Passo 5

Encontrando a Carga Induzida q:
Usando a Lei de Gauss para a região entre as cascas:
Q + q4pi varepsilon0 r^2 = E
Como o potencial na casca interna é zero, a contribuição do campo elétrico devido à casca externa deve ser cancelada pela carga q.
Assim, temos:
q = -ab Q

Passo 6

Resposta da Parte a):
A carga induzida na casca interna é:
q = -ab Q

Passo 7

Parte b) Determinar o Potencial V(r) para todo o espaço.
Agora, precisamos encontrar o potencial elétrico V(r) devido às duas cascas para qualquer ponto no espaço. Vamos dividir em três regiões:
  1. Para r < a
  2. Para a <= r < b
  3. Para r >= b

Passo 8

Região 1: r < a
Dentro da casca interna, o campo elétrico é zero (como vimos antes). Como o potencial é constante em uma região com campo zero, e a casca interna está aterrada ( V = 0), temos:
V(r) = 14pi varepsilon0 cdot Qb

Passo 9

Região 2: a <= r < b
Nesta região, o potencial é a soma dos potenciais gerados pela casca externa e pela carga induzida na casca interna.
Portanto:
V(r) = 14pi varepsilon0 cdot Qb (1 - ar)

Passo 10

Região 3: r >= b
Fora das duas cascas, o sistema se comporta como uma única carga efetiva. O potencial é dado por:
V(r) = 14pi varepsilon0 cdot Qr (1 - ab)

Resposta

a) A carga na casca interna é q = -dfracab Q;
b) O potencial V(r) devido às duas cascas para todo o espaço é:
V(r) = 14pi varepsilon0 cdot Qb & para r < a 14pi varepsilon0 cdot Qb (1 - ar) & para a <= r < b 14pi varepsilon0 cdot Qr (1 - ab) & para r >= b

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