Considere duas finas cascas esféricas metálicas e concêntricas, de raio
e
, onde
. A casca externa tem uma carga Q, mas a interna está aterrada. Determine: a) a carga na casca interna; b) o potencial
devido às duas cascas para todo o espaço.
Resp.
а)
;
b)
para
para
e
onde
Resp.
а)
b)
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas cascas esféricas metálicas finas que são concêntricas, ou seja, têm o mesmo centro, com raios
e
, sendo
. A casca externa possui uma carga
, e a interna está aterrada (o que significa que seu potencial elétrico é zero). Precisamos determinar:
a) A carga na casca interna.
b) O potencial
devido às duas cascas para todo o espaço.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Lei de Gauss e potencial elétrico em estruturas esféricas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Parte a) Determinar a carga na casca interna.
Primeiro, vamos lembrar que quando uma casca condutora está aterrada, ela tem potencial zero. Como a casca interna está aterrada e a externa tem carga
, precisamos entender como a carga se distribui.
Usaremos a Lei de Gauss para encontrar a carga induzida na casca interna.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área, -
é a carga total dentro da superfície gaussiana, -
é a constante de permissividade do vácuo.
Para a casca interna, vamos considerar uma superfície gaussiana esférica de raio
tal que
.
Passo 4
Campo Elétrico entre as Casas:
Dentro de uma casca condutora, o campo elétrico é zero. Portanto, para
,
.
Para
, o campo elétrico devido à casca externa com carga
é:
Mas, como a casca interna está aterrada, ela vai induzir uma carga
para neutralizar o potencial.
Passo 5
Encontrando a Carga Induzida
:
Usando a Lei de Gauss para a região entre as cascas:
Como o potencial na casca interna é zero, a contribuição do campo elétrico devido à casca externa deve ser cancelada pela carga
.
Assim, temos:
Passo 6
Resposta da Parte a):
A carga induzida na casca interna é:
Passo 7
Parte b) Determinar o Potencial
para todo o espaço.
Agora, precisamos encontrar o potencial elétrico
devido às duas cascas para qualquer ponto no espaço. Vamos dividir em três regiões:
- Para
- Para
- Para
Passo 8
Região 1:
Dentro da casca interna, o campo elétrico é zero (como vimos antes). Como o potencial é constante em uma região com campo zero, e a casca interna está aterrada (
), temos:
Passo 9
Região 2:
Nesta região, o potencial é a soma dos potenciais gerados pela casca externa e pela carga induzida na casca interna.
Portanto:
Passo 10
Região 3:
Fora das duas cascas, o sistema se comporta como uma única carga efetiva. O potencial é dado por:
Resposta
a) A carga na casca interna é
;
b) O potencial
devido às duas cascas para todo o espaço é: