Considere duas finas cascas esféricas metálicas e concêntricas, de raio e , onde . A casca externa tem uma carga Q, mas a interna está aterrada. Determine: a) a carga na casca interna; b) o potencial devido às duas cascas para todo o espaço.
Resp.
а) ;
b) para para e
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas cascas esféricas metálicas finas que são concêntricas, ou seja, têm o mesmo centro, com raios e , sendo . A casca externa possui uma carga , e a interna está aterrada (o que significa que seu potencial elétrico é zero). Precisamos determinar:
a) A carga na casca interna.
b) O potencial devido às duas cascas para todo o espaço.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Lei de Gauss e potencial elétrico em estruturas esféricas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Parte a) Determinar a carga na casca interna.
Primeiro, vamos lembrar que quando uma casca condutora está aterrada, ela tem potencial zero. Como a casca interna está aterrada e a externa tem carga , precisamos entender como a carga se distribui.
Usaremos a Lei de Gauss para encontrar a carga induzida na casca interna.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
é o campo elétrico,
é um elemento de área,
é a carga total dentro da superfície gaussiana,
é a constante de permissividade do vácuo.
Para a casca interna, vamos considerar uma superfície gaussiana esférica de raio tal que .
Passo 4
Campo Elétrico entre as Casas:
Dentro de uma casca condutora, o campo elétrico é zero. Portanto, para , .
Para , o campo elétrico devido à casca externa com carga é:
Mas, como a casca interna está aterrada, ela vai induzir uma carga para neutralizar o potencial.
Passo 5
Encontrando a Carga Induzida :
Usando a Lei de Gauss para a região entre as cascas:
Como o potencial na casca interna é zero, a contribuição do campo elétrico devido à casca externa deve ser cancelada pela carga .
Assim, temos:
Passo 6
Resposta da Parte a):
A carga induzida na casca interna é:
Passo 7
Parte b) Determinar o Potencial para todo o espaço.
Agora, precisamos encontrar o potencial elétrico devido às duas cascas para qualquer ponto no espaço. Vamos dividir em três regiões:
Para
Para
Para
Passo 8
Região 1:
Dentro da casca interna, o campo elétrico é zero (como vimos antes). Como o potencial é constante em uma região com campo zero, e a casca interna está aterrada (), temos:
Passo 9
Região 2:
Nesta região, o potencial é a soma dos potenciais gerados pela casca externa e pela carga induzida na casca interna.
Portanto:
Passo 10
Região 3:
Fora das duas cascas, o sistema se comporta como uma única carga efetiva. O potencial é dado por:
Resposta
a) A carga na casca interna é ;
b) O potencial devido às duas cascas para todo o espaço é: