Considere circ R^3. Indique o valor de k in R para que |(6, k, 1)|=raiz 41.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores no espaço tridimensional, R^3. A gente precisa encontrar o valor de k tal que a norma (ou tamanho) do vetor (6, k, 1) seja igual a raiz41. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da norma de um vetor no R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma de um vetor no R^3. A norma de um vetor (a, b, c) é dada por:
|(a, b, c)| = raiza^2 + b^2 + c^2
Essa fórmula nos dá o comprimento do vetor no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso vetor específico (6, k, 1). Substituindo na fórmula da norma, temos:
|(6, k, 1)| = raiz6^2 + k^2 + 1^2
Isso simplifica para:
raiz36 + k^2 + 1 = raiz37 + k^2

Passo 4

Sabemos que a norma desse vetor deve ser igual a raiz41. Então, igualamos as duas expressões:
raiz37 + k^2 = raiz41
Para resolver essa equação, vamos “bater” os radicais:
37 + k^2 = 41
Agora, isolamos k^2:
k^2 = 41 - 37
k^2 = 4

Passo 5

Para encontrar k, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
k = pm raiz4
k = pm 2

Resposta

Os valores de k que satisfazem a condição são k = 2 e k = -2.

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