Determine quais matrizes abaixos são ortogonais: A=[ccc1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a matriz 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 é ortogonal. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Precisamos entender o que é uma matriz ortogonal e como verificar se uma matriz dada atende a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz quadrada A^T A = I é dita ortogonal se o seu transposto for igual ao seu inverso . Em termos matemáticos, isso é expresso como:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Então, para verificar se é ortogonal, vamos calcular o transposto de e multiplicar por . Se o resultado for a matriz identidade, então é ortogonal.

Passo 4

Vamos encontrar o transposto de A^T = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 . O transposto de uma matriz é obtido trocando as linhas pelas colunas:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar A^T A = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 por (1)(1) + (0)(0) + (-1)(-1) = 1 + 0 + 1 = 2 :
(1)(0) + (0)(1) + (-1)(0) = 0 + 0 + 0 = 0
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
  • Elemento (1,1):
(1)(1) + (0)(0) + (-1)(1) = 1 + 0 - 1 = 0
  • Elemento (1,2):
(0)(1) + (1)(0) + (0)(-1) = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (1,3):
(0)(0) + (1)(1) + (0)(0) = 0 + 1 + 0 = 1
  • Elemento (2,1):
(0)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (2,2):
(1)(1) + (0)(0) + (1)(-1) = 1 + 0 - 1 = 0
  • Elemento (2,3):
(1)(0) + (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (3,1):
(1)(1) + (0)(0) + (1)(1) = 1 + 0 + 1 = 2
  • Elemento (3,2):
A^T A = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2
  • Elemento (3,3):
Então, a matriz resultante é:

Passo 6

Agora, vamos comparar I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 com a matriz identidade :
Claramente, não é igual a porque os elementos da diagonal principal não são todos iguais a 1.

Resposta

A matriz não é ortogonal porque não resulta na matriz identidade.

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